机器学习数学基础：25.随机变量分布详解

一、随机变量与分布函数的基本概念

（一）什么是随机变量？

在概率论领域，随机变量是将随机试验的结果进行数值化的关键概念。它就像一座桥梁，把抽象的随机事件和具体的数学分析连接起来。

举例来说，在一个抽奖活动中，奖箱里有 5 张奖券，其中 2 张是一等奖，3 张是二等奖。我们定义随机变量$X$来表示抽奖的结果：当抽到一等奖时，令$X=2$；抽到二等奖时，令$X=1$。这样，原本模糊的抽奖结果就被转化为具体的数值，方便我们用数学方法进行研究。从这个例子可以看出，随机变量的取值是由随机事件的结果决定的，并且每个取值都对应着一定的概率。在上述抽奖例子中，$P(X=2)=\frac{2}{5}$，$P(X=1)=\frac{3}{5}$。

（二）分布函数（CDF）的定义与性质

分布函数$F(x)$是描述随机变量概率分布的重要工具，它表示随机变量$X$取值小于等于$x$的概率，用数学表达式写为$F(x)=P(X\le x)$。

它具有以下四个重要性质：

1. 单调不减性：对于任意两个实数$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，那么$F(x_1)\le F(x_2)$。这一性质很好理解，因为$F(x)$是累积概率，随着$x$的增大，包含的随机事件结果只会增多或者不变，所以对应的概率不会减小。例如，在一个连续型随机变量的分布中，假设$x_1=1$，$x_2=2$，如果$X$在区间$(1,2]$内有一定的取值概率，那么$F(2)$必然大于等于$F(1)$。
2. 极限值性质：当$x$趋向于负无穷（$x\to -\infty$）时，$F(x)$的极限值为 0，即${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$。这意味着随机变量$X$取到一个极其小的值的概率几乎为 0。例如，在描述某地区成年人身高的随机变量分布中，身高小于一个极小值（比如 -1 米，这在现实中几乎不可能）的概率就是 0。当$x$趋向于正无穷（$x\to +\infty$）时，$F(x)$的极限值为 1，即${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$，这表示随机变量$X$取值小于等于一个极大值的概率是 100%。比如，在上述身高的例子中，身高小于一个极大值（比如 3 米，虽然现实中几乎不会达到，但从理论上涵盖了所有可能的身高）的概率就是 1。
3. 右连续性：对于任意实数$x_0$，函数$F(x)$在$x_0$处右连续，即${\lim }_{x\to x_0^{+}}F(x)=F(x_0)$。直观地说，当我们从$x_0$的右侧无限趋近于$x_0$时，$F(x)$的极限值等于$F(x_0)$。例如，对于一个离散型随机变量$X$，其分布函数在每个跳跃点处都满足右连续。假设$X$的取值为 1，2，3，对应的概率分别为$0.2$，$0.3$，$0.5$，其分布函数$F(x)$在$x=1$处，从右侧趋近于 1 时的极限值等于$F(1)$。
4. 有界性：$0\le F(x)\le 1$，这是因为$F(x)$表示概率，而概率的取值范围必然在 0 到 1 之间。

为了更直观地理解分布函数，我们来看一个离散型随机变量的例子。假设随机变量$X$的取值为 1，2，3，对应的概率分别为$P(X=1)=\frac{1}{4}$，$P(X=2)=\frac{1}{2}$，$P(X=3)=\frac{1}{4}$。那么它的分布函数$F(x)$为：
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ \frac{1}{4},& 1\le x<2\\ \frac{3}{4},& 2\le x<3\\ 1,& x\ge 3\end{array}$$
在这个例子中，当$x$从小于 1 逐渐增大到 1 时，$F(x)$从 0 跳跃到$\frac{1}{4}$；当$x$从小于 2 增大到 2 时，$F(x)$从$\frac{1}{4}$跳跃到$\frac{3}{4}$；当$x$从小于 3 增大到 3 时，$F(x)$从$\frac{3}{4}$跳跃到 1，并且在每个分段点处都满足右连续的性质。

（三）例题

设随机变量$X$的分布律为$P(X=-1)=\frac{1}{3}$，$P(X=0)=\frac{1}{6}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$，求$X$的分布函数$F(x)$。

解：
当$x<-1$时，$F(x)=P(X\le x)=0$；
当$-1\le x<0$时，$F(x)=P(X=-1)=\frac{1}{3}$；
当$0\le x<1$时，$F(x)=P(X=-1)+P(X=0)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$；
当$x\ge 1$时，$F(x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=1$。

所以$X$的分布函数为：
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ \frac{1}{3},& -1\le x<0\\ \frac{1}{2},& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$$

二、离散型随机变量的分布率与概率计算

（一）分布率（概率质量函数）

离散型随机变量的分布率是对随机变量所有可能取值及其对应概率的详细描述。它就像一份详细的地图，清晰地展示了随机变量在各个取值点的概率分布情况。

零一分布（伯努利分布）是一种简单而常见的离散型分布。它主要用于描述只有两种可能结果的单次试验，例如抛硬币（正面或反面）、产品是否合格（合格或不合格）等。在零一分布中，我们通常用$X$表示随机变量，$p$表示成功的概率（比如抛硬币正面朝上的概率），那么$X$的取值为 1（成功）和 0（失败），其概率分布为$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$。

（二）求解步骤

求解离散型随机变量的分布率一般可以分为以下两个关键步骤：

1. 确定所有可能取值：仔细分析随机试验的结果，找出随机变量能够取到的所有不同数值。例如，在掷骰子的试验中，如果我们定义随机变量$X$为骰子朝上一面的点数，那么$X$的可能取值就是 1，2，3，4，5，6。
2. 计算每个取值的概率：根据具体的试验情况，运用合适的方法来计算每个取值出现的概率。常见的方法有古典概型、频率估计概率等。对于古典概型，若试验的所有基本事件总数为$n$，而事件$A$包含的基本事件数为$m$，则事件$A$发生的概率$P(A)=\frac{m}{n}$。例如，在上述掷骰子的例子中，每个点数出现的概率都是$\frac{1}{6}$，因为总共有 6 种等可能的结果，而每个点数都是其中的 1 种。

（三）例题

从 1，2，3，4 这 4 个数字中随机抽取一个，记为$X$，再从 1 到$X$中随机抽取一个，记为$Y$，求$X$的分布率。

解：
$X$的可能取值为 1，2，3，4。
$P(X=1)=\frac{1}{4}$，因为从 4 个数字中取到 1 的概率是$\frac{1}{4}$。
$P(X=2)=\frac{1}{4}$，同理，取到 2 的概率也是$\frac{1}{4}$。
$P(X=3)=\frac{1}{4}$，取到 3 的概率为$\frac{1}{4}$。
$P(X=4)=\frac{1}{4}$，取到 4 的概率为$\frac{1}{4}$。

所以$X$的分布率为：

$X$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

三、常见离散分布类型与应用

（一）二项分布

1. 背景：二项分布用于描述在$n$次独立重复试验中，每次试验只有两种可能结果（成功或失败），且每次试验成功的概率都为$p$，我们关注的是这$n$次试验中成功的次数$X$的概率分布情况。例如，在多次抛硬币试验中，每次抛硬币正面朝上（成功）的概率为$p=0.5$，抛$n$次后正面朝上的次数就服从二项分布。这里的“独立重复”非常重要，意味着每次试验的结果都不会受到其他试验的影响。
2. 公式：其概率计算公式为$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，其中$k=0,1,2,\cdots ,n$。$C_n^k$是组合数，表示从$n$次试验中选取$k$次成功的组合方式的数量，计算组合数的公式为$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，$n!$表示$n$的阶乘，即$n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 1$。例如，当$n=3$，$k=2$时，$C_3^2=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3\times 2!}{2!\times 1}=3$。
3. 示例：某射手射击一次，击中目标的概率为 0.8，现连续射击 3 次，设击中目标的次数为$X$，则$X\sim B(3,0.8)$。
   计算$P(X=2)$：
   $$\begin{array}{rl}P(X=2)& =C_3^2\times 0.8^2\times (1-0.8{)}^{3-2}\\ & =\frac{3!}{2!(3-2)!}\times 0.64\times 0.2\\ & =3\times 0.64\times 0.2\\ & =0.384\end{array}$$

（二）几何分布

1. 背景：几何分布主要研究在一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。比如，在投篮过程中，每次投篮命中的概率为$p$，我们关心的是第一次投中时已经进行了多少次投篮，这个投篮次数就服从几何分布。
2. 公式：概率公式为$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$，其中$k=1,2,3,\cdots$。这里的$p$是每次试验成功的概率，$k$表示首次成功时进行的试验次数。例如，假设每次抽奖中奖的概率为 0.1，设$X$为首次中奖时已经抽奖的次数，那么$P(X=1)=0.1$，$P(X=2)=(1-0.1)\times 0.1=0.09$，$P(X=3)=(1-0.1{)}^2\times 0.1=0.081$，以此类推。
3. 示例：某运动员进行罚球训练，每次罚球命中的概率为 0.7，求该运动员首次命中时罚球次数$X$的分布。
   $X$服从几何分布，其分布律为$P(X=k)=(1-0.7{)}^{k-1}\times 0.7$，$k=1,2,3,\cdots$。
   比如$P(X=1)=0.7$，$P(X=2)=0.3\times 0.7=0.21$，$P(X=3)=0.3^2\times 0.7=0.063$。

（三）泊松分布

1. 背景：泊松分布常用于描述在单位时间、单位面积或单位空间内，稀有事件的发生次数。例如，在一个繁忙的交通路口，一天内发生交通事故的次数；在一个大型超市，一小时内顾客投诉的次数等。这些事件发生的概率相对较小，但在一定的时间或空间范围内又会有一定的发生频率，适合用泊松分布来建模。
2. 公式：概率公式为$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中$k=0,1,2,\cdots$，$\lambda$是一个重要参数，表示单位时间（或空间）内事件的平均发生率，$e$是自然常数，约等于 2.71828。例如，若某地区平均每天发生 2 起火灾，即$\lambda =2$，那么计算某天发生 3 起火灾的概率$P(X=3)$时，代入公式可得：
   $$\begin{array}{rl}P(X=3)& =\frac{2^3\times e^{-2}}{3!}\\ & =\frac{8\times 0.13534}{6}\\ & \approx 0.1805\end{array}$$
3. 参数：$\lambda$的大小决定了泊松分布的形态和特征。$\lambda$越大，表示事件发生的平均频率越高；$\lambda$越小，则事件发生的平均频率越低。在实际应用中，我们需要根据具体问题的数据来估计$\lambda$的值，从而准确地使用泊松分布进行概率计算和分析。

（四）例题

已知某商店每天顾客的投诉次数$X$服从参数$\lambda =3$的泊松分布，求该商店一天内至少有 2 次投诉的概率。

解：
已知$X\sim P(3)$，其概率公式为$P(X=k)=\frac{3^k{e}^{-3}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$。
$P(X\ge 2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)$。
$P(X=0)=\frac{3^0\times e^{-3}}{0!}=e^{-3}\approx 0.0498$。
$P(X=1)=\frac{3^1\times e^{-3}}{1!}=3e^{-3}\approx 3\times 0.0498=0.1494$。
所以$P(X\ge 2)=1-0.0498-0.1494=0.8008$。

四、随机变量函数的分布求解

当我们面对随机变量的函数$Y=g(X)$时，可以采用以下两步法来求解其分布：

（一）确定取值

首先要明确函数$Y=g(X)$的所有可能取值。这需要根据$X$的取值范围以及函数$g(X)$的具体形式来确定。例如，若$X$是离散型随机变量，取值为$x_1,x_2,\cdots$，那么将这些值代入$g(X)$中，得到$g(x_1),g(x_2),\cdots$，这些就是$Y$的可能取值，注意如果有重复的值，只保留一个。

比如，设$X$为离散型随机变量，取值为$-1,0,1$，定义$Y=X^2$。将$X$的取值代入$Y=X^2$中，当$X=-1$时，$Y=(-1{)}^2=1$；当$X=0$时，$Y=0^2=0$；当$X=1$时，$Y=1^2=1$。所以$Y$的可能取值为$0$和$1$。

（二）求概率

然后根据$X$的分布情况，来计算$Y$取每个值的概率。对于离散型随机变量$X$，若已知其分布律$P(X=x_i)=p_i$，$i=1,2,\cdots$。当求$Y=g(X)$取某一值$y_j$的概率$P(Y=y_j)$时，需要找出所有使得$g(x_i)=y_j$的$x_i$，然后将对应的$P(X=x_i)$相加。

继续以上面$Y=X^2$的例子为例，已知$X$的分布律为$P(X=-1)=\frac{1}{4}$，$P(X=0)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{4}$。

• 对于$Y=0$，只有$X=0$时满足$Y=X^2=0$，所以$P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{2}$。
• 对于$Y=1$，$X=-1$和$X=1$时都满足$Y=X^2=1$，所以$P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。

（三）例题

设随机变量$X$的分布律为$P(X=1)=\frac{1}{3}$，$P(X=2)=\frac{1}{2}$，$P(X=3)=\frac{1}{6}$，求$Y=2X-1$的分布律。

解：

1. 确定$Y$的取值：
   • 当$X=1$时，$Y=2\times 1-1=1$。
   • 当$X=2$时，$Y=2\times 2-1=3$。
   • 当$X=3$时，$Y=2\times 3-1=5$。
     所以$Y$的可能取值为$1$，$3$，$5$。
2. 计算$Y$取每个值的概率：
   -$P(Y=1)=P(X=1)=\frac{1}{3}$。
   -$P(Y=3)=P(X=2)=\frac{1}{2}$。
   -$P(Y=5)=P(X=3)=\frac{1}{6}$。

所以$Y=2X-1$的分布律为：

$Y$	$1$	$3$	$5$
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

五、总结与对比

分布类型	应用场景	核心公式	参数含义
零一分布	单次试验成功/失败，如抛一次硬币、检验一件产品是否合格	$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$	$p$：单次试验成功的概率
二项分布	$n$次独立重复试验的成功次数，如$n$次抛硬币正面朝上的次数、$n$次射击命中的次数	$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，$k=0,1,\cdots ,n$	$n$：试验次数；$p$：每次试验成功的概率
几何分布	首次成功所需的试验次数，如首次投篮命中时的投篮次数、首次抽奖中奖时的抽奖次数	$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$，$k=1,2,\cdots$	$p$：每次试验成功的概率
泊松分布	单位时间/空间内稀有事件的发生次数，如一天内某网站的故障次数、一小时内某医院的急诊病人数	$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$，$k=0,1,\cdots$	$\lambda$：单位时间（或空间）内事件的平均发生率

通过对这些随机变量分布的详细学习，我们能够更好地理解和处理各种随机现象。在实际应用中，要准确判断问题适合哪种分布类型，然后运用相应的公式和方法进行概率计算和分析。同时，多做练习题有助于我们熟练掌握这些知识，提高解决实际问题的能力。