[特殊字符] 蓝桥杯 Java B 组 之位运算(异或性质、二进制操作)
Day 6:位运算(异或性质、二进制操作)
📖 一、位运算简介
位运算是计算机底层优化的重要手段,利用二进制操作可以大大提高运算速度。常见的位运算包括:
- 与(&):
a & b,如果两个二进制位都为1,结果为1,否则为0。 - 或(|):
a | b,如果两个二进制位中至少有一个为1,结果为1,否则为0。 - 异或(^):
a ^ b,如果两个二进制位不同,结果为1,否则为0。 - 取反(~):
~a,按位取反,0变1,1变0。 - 左移(<<):
a << n,将a的二进制表示向左移动n位,相当于a * 2^n。 - 右移(>>):
a >> n,将a的二进制表示向右移动n位,相当于a / 2^n(保留符号位)。 - 无符号右移(>>>):不保留符号位,即高位补
0。
📖 二、只出现一次的数字(Single Number)
🔹 1. 题目描述
给定一个非空整数数组,除了某个数字只出现一次以外,其他数字均出现两次。请找出这个只出现一次的数字。
示例
输入: nums = [4, 1, 2, 1, 2]
输出: 4
🔹 2. 思路与分析
- 利用异或运算
^- 性质1:
a ^ a = 0,任意数与自身异或为0。 - 性质2:
a ^ 0 = a,任意数与0异或仍是自身。 - 性质3:异或满足交换律和结合律,即
a ^ b ^ c = a ^ c ^ b,顺序无关。 - 性质4:
a ^ b ^ b = a,某个数字b出现偶数次,它们会相互抵消。
- 性质1:
因此,将所有数字进行异或操作,所有成对出现的数字都会抵消为 0,最终结果就是那个只出现一次的数字。
🔹 3. 代码实现(只出现一次的数字)
public class SingleNumber {public int findSingleNumber(int[] nums) {int result = 0;for (int num : nums) {result ^= num; // 利用异或运算找出唯一的数}return result;}public static void main(String[] args) {SingleNumber solution = new SingleNumber();int[] nums = {4, 1, 2, 1, 2};System.out.println("只出现一次的数字: " + solution.findSingleNumber(nums)); // 输出 4}
}
🔹 4. 代码讲解
result ^= num:将数组中的所有数字进行异或。- 成对的数字会被消除,只剩下唯一出现一次的数字。
✅ 时间复杂度:O(n),只需遍历一次数组。
✅ 空间复杂度:O(1),只使用一个变量存储结果。
📖 三、二进制中 1 的个数(Hamming Weight)
🔹 1. 题目描述
编写一个函数,计算一个整数的二进制表示中 1 的个数。
示例
输入: n = 9 (1001)
输出: 2
🔹 2. 思路与分析
方法 1️⃣:位运算逐位检查
- 每次检查
n的最低位是否为1(n & 1)。 - 右移
n一位(n >>= 1),直到n变为0。
方法 2️⃣:n & (n - 1) 高效算法
- 性质:
n & (n - 1)可以移除n最右边的1,这样1的个数就等于操作n & (n - 1)多少次。
🔹 3. 代码实现(方法 1:逐位检查)
public class HammingWeight {public int countOnes(int n) {int count = 0;while (n != 0) {count += (n & 1); // 检查最低位是否为1n >>= 1; // 右移一位}return count;}public static void main(String[] args) {HammingWeight solution = new HammingWeight();int n = 9; // 二进制: 1001System.out.println("二进制中 1 的个数: " + solution.countOnes(n)); // 输出 2}
}
🔹 4. 代码实现(方法 2:n & (n - 1))
public class HammingWeightOptimized {public int countOnes(int n) {int count = 0;while (n != 0) {n &= (n - 1); // 清除最低位的1count++;}return count;}public static void main(String[] args) {HammingWeightOptimized solution = new HammingWeightOptimized();int n = 9; // 二进制: 1001System.out.println("二进制中 1 的个数: " + solution.countOnes(n)); // 输出 2}
}
🔹 5. 代码讲解
方法 1:
- 时间复杂度 O(log n),因为
n的二进制长度最多为log n。 - 空间复杂度 O(1)。
方法 2:
- 时间复杂度 O(k),其中
k是n中1的个数,比 O(log n) 更快。 - 空间复杂度 O(1)。
n & (n - 1) 计算次数等于 1 的个数,比 O(log n) 更快。
📖 四、位运算总结
1. 常用位运算技巧
| 运算 | 作用 |
|---|---|
a & 1 | 判断 a 是否为奇数 |
| `a | (1 << k)` |
a & ~(1 << k) | 将 a 的第 k 位置 0 |
a ^ (1 << k) | 翻转 a 的第 k 位 |
n & (n - 1) | 清除 n 的最低位 1 |
n & (-n) | 获取 n 的最低位 1 |
2. 位运算的常见应用
- 判断奇偶数:
n & 1 == 1(奇数),n & 1 == 0(偶数)。 - 求
n的二进制中1的个数。 - 交换两个数:
a = a ^ b; b = a ^ b; a = a ^ b;(不使用额外空间)。 - 判断
n是否是 2 的幂:n > 0 && (n & (n - 1)) == 0。
🎯 练习建议
- 理解异或运算的性质,练习 "只出现一次的数字"。
- 熟练掌握
n & (n - 1),用于清除最低位1的优化技巧。 - 多做位运算相关题目,包括位掩码、二进制操作。
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