【算法系列】快速排序详解

快速排序的多种实现方式

快速排序（Quick Sort）是一种高效的排序算法，采用分治法策略。它通过选择一个“基准”元素，将数组分割成两个子数组，并递归地对这两个子数组进行排序。本文将详细介绍几种常见的快速排序实现方式，并讨论它们的特点和适用场景。

1. 基本快速排序（Lomuto 分区方案）

1.1 基本原理

Lomuto 分区方案是最常见的快速排序实现之一。它选择数组的最后一个元素作为基准（pivot），然后重新排列数组，使得所有小于基准的元素位于基准的左侧，所有大于基准的元素位于基准的右侧。

1.2 步骤

1. 选择基准：通常选择数组的最后一个元素作为基准。
2. 初始化指针：设置一个指针 i，用于追踪当前小于基准的最后一个元素的位置。
3. 遍历数组：
   • 遍历数组中的每个元素（除了基准元素），如果当前元素小于等于基准，则将该元素与 i 指针所指向的元素交换，并将 i 向右移动一位。
4. 放置基准：最后将基准元素与 i + 1 位置的元素交换，使得基准元素处于正确的位置。
5. 递归排序：对基准两侧的子数组分别递归执行上述过程，直到每个子数组只剩下一个元素或为空。

1.3 Java 实现示例

public static void quickSort(int[] arr) {quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}private static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {if(low >= high) {return;}int pivotIndex = lomuto(arr, low, high);quickSort(arr, low, pivotIndex - 1);quickSort(arr, pivotIndex + 1, high);
}private static int lomuto(int[] arr, int low, int high) {int pivot = arr[high]; // 选择最后一个元素作为基准int i = low - 1; // 指向当前小于基准的最后一个元素for (int j = low; j < high; j ++) {if(arr[j] <= pivot) {i ++;if(i != j) {swap(arr, i, j);System.out.println(low + "|" + high + " " + i + "|" + j + " " + Arrays.toString(arr));}}}// 将基准元素放回数组正确位置swap(arr, i + 1, high);System.out.println(low + "|" + high + "\t \t" + Arrays.toString(arr));return i + 1;
}/*** 交换数组索引为i和j的两个元素* @param arr* @param i* @param j*/
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;
}

2. Hoare 分区方案

2.1 基本原理

Hoare 分区方案由 C.A.R. Hoare 提出，是另一种常见的快速排序实现。它通过选择一个基准元素（通常是第一个或最后一个元素），然后重新排列数组，使得所有小于基准的元素位于基准的左侧，所有大于基准的元素位于基准的右侧。

2.2 步骤

1. 选择基准：通常选择数组的第一个元素作为基准。
2. 初始化双指针：设置两个指针，分别指向数组的起始位置和结束位置。
3. 移动指针：
   • 左指针向右移动，直到找到一个大于基准的元素。
   • 右指针向左移动，直到找到一个小于基准的元素。
4. 交换元素：当左右指针都停止时，交换这两个元素的位置。
5. 重复步骤3和4：继续移动指针并交换元素，直到左右指针相遇。
6. 放置基准：最后将基准元素与右指针的位置交换，使得基准元素处于正确的位置。

2.3 Java 实现示例

public static void quickSort(int[] arr) {quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}private static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {if(low >= high) {return;}int pivotIndex = hoare(arr, low, high);quickSort(arr, low, pivotIndex - 1);quickSort(arr, pivotIndex + 1, high);
}private static int hoare(int[] arr, int low, int high) {int pivot = arr[low]; // 选择一个元素作为基准int l = low; // 左索引int r = high; // 右索引while(l < r) {while(l < r && arr[r] > pivot) {r --;}while(l < r && arr[l] < pivot) {l ++;}if(l < r) {swap(arr, l, r);System.out.println(l + "|" + r + "\t\t" + Arrays.toString(arr));}}return l;
}/*** 交换数组索引为i和j的两个元素* @param arr* @param i* @param j*/
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;
}

3. 三数取中法

3.1 基本原理

为了减少快速排序在最坏情况下的时间复杂度（即 O(n^2)），可以使用“三数取中法”来选择基准元素。这种方法通过选择数组的第一个、中间和最后一个元素中的中位数作为基准，从而减少最坏情况的发生概率。

3.2 步骤

1. 选择基准：选择数组的第一个、中间和最后一个元素中的中位数作为基准。
2. 分区操作：根据选择的基准进行分区操作，可以使用 Lomuto 或 Hoare 分区方案。
3. 递归排序：对基准两侧的子数组分别递归执行上述过程，直到每个子数组只剩下一个元素或为空。

3.3 Java 实现示例

public static void quickSort(int[] arr) {quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}private static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {if (low >= high) {return;}int pivotIndex = lomuto(arr, low, high);quickSort(arr, low, pivotIndex - 1);quickSort(arr, pivotIndex + 1, high);
}private static int lomuto(int[] arr, int low, int high) {int pivotIndex = medianOfThree(arr, low, high); // 使用三数取中法选择基准int pivot = arr[pivotIndex];int i = low - 1; // 指向当前小于基准的最后一个元素if (pivotIndex != high) {swap(arr, pivotIndex, high); // 将基准元素移到最后System.out.println("pivot:" + pivotIndex + "|" + high + "\t" + Arrays.toString(arr));}for (int j = low; j < high; j++) {if (arr[j] <= pivot) {i++;if (i != j) {swap(arr, i, j);System.out.println(low + "|" + high + " \t" + i + "|" + j + "\t" + Arrays.toString(arr));}}}// 将基准元素放回数组正确位置if (i + 1 != high) {swap(arr, i + 1, high);System.out.println("back:" + (i + 1) + "|" + high + "\t" + Arrays.toString(arr));}return i + 1;
}/*** 选择数组的第一个、中间和最后一个元素中的中位数作为基准，返回其下标** @param arr* @param low* @param high* @return*/
private static int medianOfThree(int[] arr, int low, int high) {int mid = (low + high) / 2;if ((arr[low] <= arr[mid] && arr[mid] <= arr[high]) || (arr[low] >= arr[mid] && arr[mid] >= arr[high])) {return mid;}if ((arr[mid] <= arr[low] && arr[low] <= arr[high]) || (arr[mid] >= arr[low] && arr[low] >= arr[high])) {return low;}return high;
}/*** 交换数组索引为i和j的两个元素** @param arr* @param i* @param j*/
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;
}

4. 尾递归优化

4.1 基本原理

快速排序的递归实现可能导致栈溢出问题，特别是在处理大规模数据集时。为了避免这种情况，可以使用尾递归优化技术来减少递归调用栈的深度。

4.2 步骤

1. 选择基准：选择数组的某个元素作为基准。
2. 分区操作：根据选择的基准进行分区操作，可以使用 Lomuto 或 Hoare 分区方案。
3. 尾递归优化：每次递归只对较小的子数组进行递归调用，较大的子数组则通过循环继续处理，从而减少递归调用栈的深度。

4.3 Java 实现示例

public static void quickSort(int[] arr) {quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}private static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {// 使用循环代替递归while (low < high) {int pivotIndex = hoare(arr, low, high);// 对较小的分区进行递归调用if (pivotIndex - low < high - pivotIndex) {quickSort(arr, low, pivotIndex - 1);low = pivotIndex + 1;} else {quickSort(arr, pivotIndex + 1, high);high = pivotIndex - 1;}}
}private static int hoare(int[] arr, int low, int high) {int pivot = arr[low]; // 选择一个元素作为基准int l = low; // 左索引int r = high; // 右索引while (l < r) {while (l < r && arr[r] > pivot) {r--;}while (l < r && arr[l] < pivot) {l++;}if (l < r) {swap(arr, l, r);System.out.println(l + "|" + r + "\t\t" + Arrays.toString(arr));}}return l;
}/*** 交换数组索引为i和j的两个元素** @param arr* @param i* @param j*/
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;
}

总结

快速排序有多种实现方式，每种实现方式在不同的应用场景下可能有不同的性能表现：

• Lomuto 分区方案：简单易懂，但相比 Hoare 分区方案，在某些情况下可能会有更多的交换操作，导致效率稍低。
• Hoare 分区方案：通常比 Lomuto 分区更高效，因为它减少了不必要的交换操作，从而减少了时间复杂度。
• 三数取中法：通过选择数组的第一个、中间和最后一个元素中的中位数作为基准，减少最坏情况的发生概率。
• 尾递归优化：通过优化递归调用栈的深度，避免栈溢出问题，特别适合处理大规模数据集。