有符号数和无符号数的加减运算

一、无符号数的加减运算

1. 加法

   • 规则：直接按二进制逐位相加，若最高位产生进位（即结果超出(2^n)范围），则结果对(2^n)取模（(n)为位数）。
   • 示例（8位无符号数）：
     • (200 + 100 = 300)，但8位最大值为255，溢出后结果为(300 \mod 256 = 44)。
     • 结果：(\boxed{44})

2. 减法

   • 规则：直接按二进制逐位相减，若被减数小于减数，结果回绕为(2^n - |被减数 - 减数|)。
   • 示例（8位无符号数）：
     • (10 - 20 = -10)，回绕后结果为(256 - 10 = 246)。
     • 结果：(\boxed{246})

---

二、有符号数的加减运算（补码表示）

1. 加法

   • 规则：
     • 直接按二进制逐位相加（符号位参与运算）。
     • 溢出判断：若两个正数相加结果为负，或两个负数相加结果为正，则溢出。
   • 示例（8位有符号数）：
     • (100 + 50 = 150)（8位有符号数范围为(-128)到(127)），溢出后结果为补码(10010110_2 = -106)。
     • 结果：(\boxed{-106\quad(\text{溢出})})

2. 减法

   • 规则：将减法转换为加法，即(A - B = A + (-B))，其中(-B)为(B)的补码（取反后加1）。
   • 示例（8位有符号数）：
     • (50 - 100 = 50 + (-100))：
       • (100)的补码：取反(01100100_2 \rightarrow 10011011_2)，加1得(10011100_2)（即(-100)）。
       • 计算(00110010_2 + 10011100_2 = 11001110_2)（补码），对应十进制(-50)。
     • 结果：(\boxed{-50})

---

三、溢出检测

1. 无符号数：

   • 加法溢出：最高位产生进位（进位标志位为1）。
   • 减法溢出：被减数小于减数（借位标志位为1）。

2. 有符号数：

   • 加法溢出：两正数相加得负，或两负数相加得正。
   • 减法溢出：正数减负数得负，或负数减正数得正。

---

四、关键区别

运算类型	无符号数	有符号数（补码）
表示范围	(0 \leq x < 2^n)	(-2^{n-1} \leq x < 2^{n-1})
溢出处理	结果对(2^n)取模	符号位异常（需检测溢出）
减法实现	直接二进制减法	转换为加法（(A + (-B))）

---

五、常见问题

1. 为什么有符号数用补码表示？

   • 补码统一了正负数的加减法规则，符号位可直接参与运算，无需额外判断。

2. 如何快速计算补码？

   • 对原码取反（按位取反）后加1。例如：
     (100_{10} = 01100100_2 \rightarrow 10011011_2 + 1 = 10011100_2)（即(-100)）。

3. 如何判断结果是否溢出？

   • 无符号数：观察进位/借位标志位。
   • 有符号数：检查符号位是否异常（如正+正=负）。

---

通过上述规则和示例，可以清晰理解无符号数和有符号数在加减运算中的差异及处理逻辑。