姿态变换及坐标变换

0. 空见间变换&基变换

这是矩阵分析的相关知识，有兴趣的参考第一篇知乎文章[1].

0.0 空间变换

空间变换是指在同一组绝对基下的变换，可以想象为世界空间
解读 B=MA：矩阵乘法是一种空间变换
（1）M把A所在的空间的基进行了变换，因此A也进行了变换
（2）M把基(i, j)映射成了(u, v)，当前向量在基(u, v)下表示的位置，记为变换结果

0.1 基变换

基变换涉及到多个基，因此研究向量、变换都需要说明在什么基向量下进行的
注意：
（1）空间中同一个点，在不同基下的坐标是不一样的

向量的基转换

（1）假设基(i, j)到基(u, v)基的变换矩阵为P, 则基(u, v)下的向量x到基(i, j)下，转化计算为Px
（2）同样，已知(i, j)在基(u, v)的表示，记为Q，Q就是基(i, j)下的向量x到基(i, j)下
转换矩阵为Q。（i, j）基下的x转化到（u，v 记为）Qx
总结：变换矩阵P在当前基下表示了另外一组基，则P表示另外一组基到当前基的变换矩阵， ij基用P表示uv基， P代表如何从uv基过渡到ij基

1.缩放、旋转、平移

2022-11-13 灵感：（自身到另外一位置）这些操作都是在自身参考系完成的，即以自我为中心，所以都是以SRT（缩放scale，旋转rotation，平移translation）顺序完成姿态的转换。

参考：[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/69069183

机器人齐次变换

坐标系变换

前提: 现在可以用n阶矩阵描述机器人当前位置作为参考系为T1，当前位置所观察目标为P1(仅坐标)

题目:机器人T1位置(3阶矩阵)观察到目标P1(坐标)，现在机器人运动到T2位置，试问目标P1在T2位置的坐标为多少。
step1：设T1到T2基变换的过渡矩阵为M，即满足$T_2=T_1\ast M$，由此计算得出过渡矩阵$M=T_1^{-1}\ast T_2$
setp2：已知目标在 $T_1$ 下为 $P_1$，再由基过渡矩阵与坐标变换关系得出，此时T2坐标系下目标为: $P_2=M^{-1}\ast P_1=T_2^{-1}\ast T_1\ast P_1$