【C++要笑着学】搜索二叉树 (SBTree) | K 模型 | KV 模型

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💭 写在前面：半年没更 C++ 专栏了，上一次更新还是去年九月份，被朋友催更很久了hhh

本章倒回数据结构专栏去讲解搜索二叉树，主要原因是讲解 map 和 set 的特性需要二叉搜索树做铺垫，理解搜索二叉树有助于更好地理解 map 和 set 的特性。第二个原因是为了后期讲解查找效率极高的平衡搜索二叉树，随后再讲完红黑树，我们就可以模拟实现 map 和 set 了。二叉树的基础知识讲解在我的《树锯结构》专栏中有写，这里放上链接方便复习。

🔗 复习链接：【数据结构】二叉树的遍历

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Ⅰ. 搜索二叉树（SearchBinaryTree）

0x00 搜索二叉树的概念

📚 概念：搜索二叉树又称为二叉排序树，它或者是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树：

• 若其左子树不是空，则左子树上所有节点的值都小于根结点的值
• 若其右子树不是空，则右子树上所有结点的值都大于根结点的值
• 其左右子树必须都是二叉搜索树

  

至于叫它 "搜索二叉树"，还是 "二叉搜索树"，这个似乎也没有特别的规定，应该都是可以的。

但我更喜欢叫它 "搜索二叉树"，因为这样翻译过来是 "Search Binary Tree"，

 但是我并不是因为这样可以叫它 SB 树才喜欢的。

（而且这样也不文明，而且已经有 SB 树了，Size Balanced Tree）

而是因为  叫 "搜索二叉树 Search Binary Tree" 可以顺便记住它的性质：

Search Binary Tree，S 也可以表示 Small，B 也可以表示 Big，SB 即左边小右边大！

（一般而言，搜索二叉树都是左边小右边大的）

 这样可以正好能对应它的性质：左子树的值 < 根 < 右子树的值

🔺 结论：任意一个子树都需要满足，左子树的值 < 根 < 右子树的值，才能构成二叉搜索树。 

0x01 搜索二叉树的优势

既然叫搜索二叉树，它肯定是用来搜索的，当满足搜索二叉树时你将可以快速地查找任意的值。

💭 举个例子： 查找 

放到以前我们如果不用二分查找，可能会选择用暴力的方式去从头到尾遍历一遍。

但现在学了搜索二叉树，我们就可以轻松找到这个  了，不信你看：

STEP1： 比  (根节点) 小，根据搜索二叉树的性质，它必然不会出现在右子树 (右边大) ！

 所以，直接 🔒 锁定 左子树开始找：

STEP2：  比  大，根据性质它肯定不会出现在左子树 (左边小) ！

 这次，直接 🔒锁定 右子树继续找： 

STEP3： 我们继续对比， 比  大，所以在右边，就这么轻轻松松的找到了：

 搜索二叉树查找一个值的最坏情况，也只是查找高度次。 你就说爽不爽吧。

这就是搜索二叉树，它的搜索功能是真的名副其实的厉害！

0x02 二叉搜索树的时间复杂度：O(N)

上面的例子举得太丝滑了，会让人误以为搜索二叉树的时间复杂度是  ……

但实际上是   ！！！

因为这棵树是有可能会 蜕化 的，极端情况下会蜕化成一个 "单边树" ：

  

😢 最差情况：二叉搜索树退化为单边树（或类似单边），其平均比较次数为：

 但是在好的情况下，其搜索效率也是非常可观的：

😍 最优情况：二叉搜索树为完全二叉树（或接近完全二叉树），其平均比较次数为：

  对于时间复杂度的分析我们要做一个悲观主义者，根据最差情况去定时间复杂度。

🔺 总结：搜索二叉树的时间复杂度为 

0x03 搜索二叉树的改良方案

 如果搜索二叉树蜕化成了单边树，其性能也就失去了，能否进行改进让它保持性能？

如何做到不论按照上面次序插入关键码，二叉搜索树的性能均能达到最优？

搜索二叉树由于控制不了极端情况，与  失之交臂，但平衡二叉搜索树做到了。

"平衡二叉树的搜索效率极高"

严格意义上来说满二叉树才是 ，完全二叉树是接近  。

而平衡搜索二叉树维持左右两边均匀程度，让它接近完全二叉树，从而让效率趋近 。

Ⅱ. 搜索二叉树的实现

0x00 搜索二叉树的定义

 搜索二叉树，SearchBinaryTree 名称实在是又臭又长！

我们不如取名为 SBTree，但是 SBTree 听起来好像有点不文明，我们还是叫 BSTree 吧。

这里我们用模板，模板参数我们给了一个 ，表示 key 的意思（模板参数并非一定要用 T）。

template<class K> 
struct BSTreeNode {BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key): _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
};

下面我们来定义整个树，BSTreeNode 也有些长了，我们不如将其 typedef 成 Node 。

这里我们构造函数都没必要写，它自己生成的就够用了：

template<class K> 
class BSTree {typedef BSTreeNode<K> Node;
private:Node* _root = nullptr;    // 懒得写构造函数了
};

0x01 搜索二叉树的插入

 我们先来实现最简单的插入操作：

• 如果树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针。
• 如果树不为空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。

bool Insert(const K& key);

Insert 的实现我们可以用递归，也可以用非递归，这一块递归比非递归更难理解。

秉着先难后易的态度，我们先讲比较难理解的非递归版本！

💡 分析

Step1：首先检查是否有根结点 _root，如果没有我们就 new 一个结点出来作为根结点。
此时插入成功，返回 true。

Step2：插入就需要找到插入位置，我们定义一个 cur 变量，从根节点开始，
根据搜索二叉树 "SB" 性质，将 cur 结点的值与插入的值  进行大小比较。

• 如果插入的值大于当前结点值，则将 cur 结点向右移动 cur=cur->_right ；
• 如果插入的值小于当前节点值，就将 cur 结点向左移动 cur=cur->_left。

值得注意的是，我们还需要额外记录一下 cur 的父结点，因为你不知道什么时候会碰  结束。
并且当我们找到插入位置后，仅仅 new 上一个新结点给 cur 是完成不了插入操作的！
因为直接这么做 cur 也只是一个局部变量而已，你需要 cur 跟上一层（cur 的父亲）相链接才行！
为了能找到上一层，所以我们还需要额外定义一个 prev 变量来记录 cur 的父结点，
在我们更换 cur 结点时记录父结点的位置 prev=cur 即可。
当然了，还有一种插入失败的情况，就是判断大小时出现等于的情况，返回 false 即可。
（重复的值是不允许插入的，默认情况是不允许冗余的！但是也有针对这个的变形，后续再说）

Step3：插入！new 一个新结点给 cur，此时 cur 只是一个局部变量，必须要和父亲链接，
此时应该链接父亲的左边，还是链接父亲的右边？我们不知道，所以我们需要再做一个比较！

• 如果父节点的值大于插入的值，则将 cur 链接到父亲左边 prev->_left=cur；
• 反之将 cur 链接到父亲右边  prev->_right=cur。

最后，插入成功返回 true，我们的插入操作就大功告成了。

💬 代码演示：Insert 接口的实现

/* 插入 */
bool Insert(const K& x) {/* 检查是否由根节点 */if (_root == nullptr) {    // 如果根节点为空指针_root = new Node(x);   // 创建一个新结点作为根结点return true;           // 插入成功，返回真}Node* prev = nullptr;      // 用于记录cur的父亲Node* cur = _root;         // 从根节点开始/* 找到插入位置 */while (cur != nullptr) {if (x > cur->_key) {          // 如果插入的值大于当前结点值，则向右移动prev = cur;               // 保存父节点cur = cur->_right;        // 令cur右滑}else if (x < cur->_key) {     // 如果插入的值小于当前结点值，则向左移动prev = cur;      cur = cur->_left;         // 令cur左滑}else {                        // 相等的情况，禁插return false;             // 插入失败，返回假}}/* 插入位置已找到，准备进行链接操作 */cur = new Node(x);      // 创建一个新结点，赋给cur，此时cur为局部，需与父结点链接if (prev->_key > x) {   // 如果父结点的值大于插入的值，则将cur链接到左边prev->_left = cur;} else {                  // 如果父节点的值小于插入的值，则将cur链接到右边prev->_right = cur;}return true;   // 插入成功，返回真
}

再写一个中序遍历来测试一下插入的效果：

void InOrder(Node* root) {if (root == nullptr) {return;}InOrder(root->_left);            // 左cout << root->_key << " ";       // 值InOrder(root->_right);           // 右
}

模拟出一个测试用例：

void TestBSTree() {BSTree<int> t;int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };for (auto e : a) {t.Insert(e);}t.InOrder();  ❌ 没法传根
}

此时会出现一个问题，因为根是私有的，我们没办法把根传过去。

此时我们可以选择在类内部写一个成员函数 GetRoot 去取根，但是这里我们可以选择这么做：

	void InOrder() {_InOrder(_root);}private:// 改为内部函数void _InOrder(Node* root) {if (root == nullptr) {return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

干脆将刚才我们实现的中序设为 private 私有，然后再写一个 InOrder 放在公有的区域。

这就是在类内访问 _root 了，没有什么问题。

如此一来我们在类外就可以直接调用 InOrder，并且也不需要传递参数了。

int main(void)
{TestBSTree();return 0;
}

🚩 运行结果：

0x02 搜索二叉树的查找

 find 实现很容易，用和刚才一样的思路，从根结点开始查找。 

从根开始，如果要查找的值大于 cur 目前的值，则让 cur 往右走，反之往左走。

当查找得值与 cur 的值相等时则说明找到了，返回 true。

当 cur 触及到空（while 循环结束）则说明找不到，返回 false。

💬 代码实现：搜索二叉树的查找

/* 查找 */
bool Find(const K& target) {Node* cur = _root;                    // 从根结点开始查找while (cur != nullptr) {      if (target > cur->_key) {         // 如果目标值比当前结点值大，cur↘cur = cur->_right;       }else if (target < cur->_key) {    // 如果目标值比当前结点值小，cur↙cur = cur->_left;}else {                            // 如果目标值等于结点值，说明找到了/* 找到了，返回真 */return true;}}/* 没找到，返回假 */return false;
}

0x03 搜索二叉树删除

搜索二叉树真正困难的是删除，搜索二叉树删除的实现是有很有难度的。

删除的实现就需要一些 "奇技淫巧" 了，断然删除会毁树。

没有孩子或者只有一个孩子，可以直接删除，孩子托管给父亲。

两个还是没办法给父亲，父亲养不了这么多孩子，但是可以找个人替代父亲养孩子。

当然，也不能随便找，找的人必须仍然维持搜索二叉树的性质，这是原则。

"你不能说搞得我都不是搜索二叉树了，那还玩个锤子"

必须比左边的大，比右边的小。所以在家族中找是最合适的。

找左子树的最大值结点，或者右子树的最小值结点。

首先要查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回。

如果存在，那么删除的结点可能分为下面四种情况：

a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左孩子结点也有右孩子结点

看起来有待删除节点有 4 种情况，但实际上 a 和 b，或 a 和 c 可以合并。

📌 因此，真正的删除过程如下：

• 情况B：删除该结点且使被删除结点的父结点指向被删除节点的左孩子结点 —— 直接删除。
• 情况C：删除该节点且使被删除结点的父节点指向被删除节点的右孩子结点 —— 直接删除。
• 情况D：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点（值最小），用它的值填补到被删除结点中，再来处理该结点的删除问题 —— 替换法删除。

① 该结点无左孩子

如果要删除下面这颗二叉树的 10 节点和 4 节点：

我们还是定义一个 cur 变量，当 cur 找到 10 结点后，如果左侧为空情况如下：

1. 若该结点为 root，直接让 root 等于它的右孩子结点。
2. 对于删除 10 结点：若 cur==father->right，则令 parent->right = cur->right （如图所示）
3. 对于删除 4 结点：若 cur==father->left，则令 parent->left=cur->right （如图所示）
4. 最后删除 cur 结点

💬 代码演示：

if (cur->_left == nullptr) {/* 判断要删除的结点是否为根结点 */if (cur == _root) {_root = cur->_right;}else {if (cur == father->_right) {/* 如果 cur 比 father 大 */father->_right = cur->_right;}else {father->_left = cur->_right;}}delete cur;cur = nullptr;
}

② 该结点无右孩子

 如果要删除 14 结点，删除逻辑和删除左孩子是类似的：

💬 代码演示：

else if (cur->_right == nullptr) {/* 判断是否为根结点 */if (cur == _root) {_root = cur->_left;}else {if (cur == father->_right) {/* cur 比父结点大 */father->_right = cur->_left;}else {father->_left = cur->_left;}}delete cur;cur = nullptr;
}

③ 该结点有左右两个孩子

如果删除的结点有左右两个孩子，我们就在它的右子树中寻找中序的第一个结点。

即 与右子树的最小值进行替换，当然也可以选择左子树的最大值进行替换。

💭 例子：比如下面这颗子树，我们要删除 3 结点：

如果该结点有两个孩子，则采用如下替换法：

该结点和右子树的最小值或左子树的最大值进行值的替换，然后删除替换后的结点。

这里我们采用与右子树的最小值进行替换。

💬 代码演示：非递归版本的 Erase

bool Erase(const K& key) {Node* father = nullptr;Node* cur = _root;while (cur != nullptr) {if (cur->_key < key) {father = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){father = cur;cur = cur->_left;}else {/* 找到了！ 情况一：该节点没有左孩子   情况二：该节点没有右孩子 */if (cur->_left == nullptr) {/* 判断是否为根结点 */if (cur == _root) {_root = cur->_right;}else {if (cur == father->_right) {//cur 比 father大father->_right = cur->_right;}else {father->_left = cur->_right;}}delete cur;cur = nullptr;}else if (cur->_right == nullptr) {/* 判断是否为根结点 */if (cur == _root) {_root = cur->_left;}else {if (cur == father->_right) {/* 如果 cur 比父结点大 */father->_right = cur->_left;}else {father->_left = cur->_left;}}delete cur;cur = nullptr;}else {/* 有两个节点，替换 */Node* MinParNode = cur;Node* MinNode = cur->_right;while (MinNode->_left) {MinParNode = MinNode;MinNode = MinNode->_left;}swap(cur->_key, MinNode->_key);if(MinParNode->_left == MinNode) {MinParNode->_left = MinNode->_right;}else {MinParNode->_right = MinNode->_right;}delete MinNode;MinNode = nullptr;}return true;}}return false;
}

💡 解读：找到 3 结点中右子树的最小结点，替换它们的值。定义 MinParNode 为 cur，MinNode 为 cur 的右节点。首先让 MinNode 指向 3 的右孩子（1），然后一直向左边找知道找到 nullptr 为止，此时 MinNode 指向的就是最小的结点了，此时让 3 与 MinNode 的值交换即可。

交换后，删除 3 就变成了删除 MinNode，我们需要弄清 MinNode  和 MinParNode 的指向关系：

• 如果 MinParNode 的左孩子是 MinNode，则让 MinParNode 的左指向 MinNode 的右。
• 如果 MinParNode 的右孩子是 MinNode，则让 MinParNode 的右指向 MinNode 的右。（这里让 MinParNode 指向 MinNode 的右的原因是 MinNode 已是最小结点，不可能有左孩子了）

Ⅲ. 搜索二叉树的应用

0x00 K 模型

 模型，即只有 key 作为关键码，结构中只需存储 key 即可，关键码就是需要搜索到的值。

💭 举个例子：对于单词 word，我们需要判断该单词是否拼写正确

• 以单词集合中的每个单词作为 key，构建一个搜索二叉树。
• 在二叉树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

0x01 KV 模型

 模型，每一个关键码 key，都有与之对应的值 Value，即 <Key, Value> 的键值对。

这就像 Python 中的 dict 字典类型一样，key 和 value 对应。

这在生活中也是非常常见的，比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快读检索到对应的中文，英文单词也可以与其对应的中文构建出一种键值对：

<word, chinese>

再比如统计单词次数，统计成功后，给定的单词就课快速找到其出现的次数，单词与其出现的次数就构建出了一种键值对：

<word, count>

💬 代码演示：我们实现一个简单的英汉词典 dict，可以通过英文找到对应的中文。

具体实现方式如下：

• <单词, 中文含义>  以键值对构造搜索二叉树，值得注意的是，搜索二叉树需要比较，键值对比较时只比较 Key。
• 查询英文单词时，只需给出英文单词，就可以快速检索到对应的 Key

namespace KV
{template<class K, class V>struct BSTreeNode{BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;K _key;V _value;//pair<K, V> _kv;BSTreeNode(const K& key, const V& value):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _value(value){}};template<class K, class V>struct BSTree{typedef BSTreeNode<K, V> Node;public:BSTree():_root(nullptr){}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 找到，准备开始删除if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}else{Node* minParent = cur;Node* min = cur->_right;while (min->_left){minParent = min;min = min->_left;}cur->_key = min->_key;cur->_value = min->_value;if (minParent->_left == min)minParent->_left = min->_right;elseminParent->_right = min->_right;delete min;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root;};void TestBSTree1(){// 字典KV模型BSTree<string, string> dict;dict.Insert("sort", "排序");dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("map", "地图、映射");//...string str;while (cin>>str){BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);if (ret){cout << "对应中文解释：" << ret->_value << endl;}else{cout << "无此单词" << endl;}}}void TestBSTree2(){// 统计水果出现次数string arr[] = { "苹果", "西瓜","草莓", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };BSTree<string, int> countTree;for (auto& str : arr){//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.Find(str);if (ret != nullptr){ret->_value++;}else{countTree.Insert(str, 1);}}countTree.InOrder();}
}

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📌 [ 笔者 ]   王亦优
📃 [ 更新 ]   2023.4.8
❌ [ 勘误 ]   /* 暂无 */
📜 [ 声明 ]   由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！

📜 参考资料  C++reference[EB/OL]. []. http://www.cplusplus.com/reference/. Microsoft. MSDN(Microsoft Developer Network)[EB/OL]. []. . 百度百科[EB/OL]. []. https://baike.baidu.com/. 比特科技. C++[EB/OL]. 2021[2021.8.31].