算法记录 | 48 动态规划

198.打家劫舍

思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]：前 i 间房屋所能偷窃到的最高金额。

2.确定递推公式：dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i-1], dp[i - 1])

i间房屋的最后一个房子是nums[i−1]。

如果房屋数大于等于 2 间，则偷窃第 i−1 间房屋的时候，就有两种状态：

1. 偷窃第 i−1 间房屋，那么第 i-2 间房屋就不能偷窃了，偷窃的最高金额为：前 i−2 间房屋的最高总金额 + 第 i−1 间房屋的金额，即 dp[i]=dp[i−2]+nums[i-1]；

2. 不偷窃第 i−1 间房屋，那么第 i−2 间房屋可以偷窃，偷窃的最高金额为：前 i−1 间房屋的最高总金额，即 dp[i]=dp[i−1]。

3. 初始条件：

   • 前 0 间房屋所能偷窃到的最高金额为 0，即 dp[0]=0。

   • 前 1 间房屋所能偷窃到的最高金额为 nums[0]，即：dp[1]=nums[0]。

4. 确定遍历顺序：dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历

class Solution:def rob(self, nums: List[int]) -> int:size = len(nums)if size == 0:return 0dp = [0 for _ in range(size + 1)]dp[0] = 0dp[1] = nums[0]for i in range(2, size + 1):dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i - 1], dp[i - 1])return dp[size]

213.打家劫舍II

思路：

这道题可以看做是「198. 打家劫舍」的升级版。

如果房屋数大于等于 3 间，偷窃了第 1 间房屋，则不能偷窃最后一间房屋。同样偷窃了最后一间房屋则不能偷窃第 1 间房屋。

假设总共房屋数量为size，这种情况可以转换为分别求解 [0,size−2] 和 [1,size−1] 范围下首尾不相连的房屋所能偷窃的最高金额，然后再取这两种情况下的最大值。而求解 [0,size−2] 和 [1,size−1] 范围下首尾不相连的房屋所能偷窃的最高金额问题就跟「198. 打家劫舍」所求问题一致了。

class Solution:def helper(self, nums):size = len(nums)if size == 0:return 0dp = [0 for _ in range(size + 1)]dp[0] = 0dp[1] = nums[0]for i in range(2, size + 1):dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i - 1], dp[i - 1])return dp[size]def rob(self, nums: List[int]) -> int:size = len(nums)if size == 1:return nums[0]ans1 = self.helper(nums[:size - 1])ans2 = self.helper(nums[1:])return max(ans1, ans2)

337.打家劫舍III

思路：

树形动态规划问题。

对于当前节点 cur，不能选择子节点，也不能选择父节点。所以对于一棵子树来说，有两种情况：

• 选择了根节点
• 没有选择根节点

1.选择根节点

如果选择了根节点，则不能再选择左右儿子节点，这种情况下的最大值为：当前节点 + 左子树不选择根节点 + 右子树不选择根节点。

不选择根节点

2.如果不选择根节点，则可以选择左右儿子节点，共四种可能：

• 左子树选择根节点 + 右子树选择根节点
• 左子树选择根节点 + 右子树不选根节点
• 左子树不选根节点 + 右子树选择根节点
• 左子树不选根节点 + 右子树不选根节点

选择其中最大值。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:# dp数组（dp table）以及下标的含义：# 1. 下标为 0 记录 **不偷该节点** 所得到的的最大金钱# 2. 下标为 1 记录 **偷该节点** 所得到的的最大金钱dp = self.traversal(root)return max(dp)# 要用后序遍历, 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算def traversal(self, node):# 递归终止条件，就是遇到了空节点，那肯定是不偷的if not node:return (0, 0)left = self.traversal(node.left)right = self.traversal(node.right)# 不偷当前节点, 偷子节点val_0 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])# 偷当前节点, 不偷子节点val_1 = node.val + left[0] + right[0]return (val_0, val_1)