武忠祥老师每日一题||定积分基础训练（三）

常用的基本不等式：
$$\sin x<x<tanx,x\in (0,\frac{\pi }{2})$$
$$e^x\ge 1+x,x\in (-\infty ,+\infty )$$
$$\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x,x\in (0,+\infty )$$

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$$本题中的积分区间为(0,\frac{\pi }{4}),有\tan x>x$$
$$故{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x>{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}1\mathrm{d}x>{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{\tan x}\mathrm{d}x$$
$$而I_2<{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}1\mathrm{d}x=\frac{\pi }{4}<1$$
$$此时可以根据排除法选出选项B。$$

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$$补充x\in (0,\frac{\pi }{2}),\sin x<x<\tan x的几何图形$$