Problem E. 矩阵游戏 （2023年ccpc河南省赛）

原题链接：
https://codeforces.com/gym/104354

题意：

有一个n*m的矩阵，只有三种字符：0,1和?。从[1,1]走到[n,m],每次只能向下走或者向下走。当走到1的时候得一分，走到0的时候不得分，走到?的时候可以将他变为1从而得到一分，或者不变，求所有从[1,1]走到[n,m]的路径的得分的最大值

思路：

f[i][j][k]表示走到[i,j]恰好有k个?变成1的方案数的最大得分
状态转移：
a[i][j]‘0’:f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k])
a[i][j]‘1’:f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k]+1,f[i][j-1][k]+1)
a[i][j]==‘?’:
改:f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k-1]+1,f[i][j-1][k-1]+1)
不改：f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k])

那么这样的空间复杂度是n* m * x，会mle

于是考虑将数组优化到二维：f[j][k]

1.将k从大到小枚举
在转移的时候，如果按正常枚举，就会出现重复的情况，这时候只需要将k从大到小进行枚举，就避免了重复

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,x;
int f[505][1005];
char a[505][505];
bool  cheek(int x,int y){if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m) return true;else return false;
}
void sove(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>a[i][j];}}for(int j=0;j<=m;j++){for(int k=0;k<=x;k++){f[j][k]=-0x3f3f3f3f;}}if(a[1][1]=='1'){f[1][0]=1;}else if(a[1][1]=='0'){f[1][0]=0;}else{f[1][1]=1;f[1][0]=0;}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){for(int k=x;k>=0;k--){if(a[i][j]=='1'){if(cheek(i-1,j)){f[j][k]=max(f[j][k],f[j][k]+1);}if(cheek(i,j-1)){f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][k]+1);}}else if(a[i][j]=='0'){if(cheek(i,j-1)){f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][k]);}				}else{if(cheek(i-1,j)){if(k-1>=0) f[j][k]=max(f[j][k],f[j][k-1]+1);}if(cheek(i,j-1)){f[j][k]=max(f[j-1][k],f[j][k]);if(k-1>=0)f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][k-1]+1);}		}}}}int ans=0;for(int i=0;i<=x;i++){ans=max(ans,f[m][i]);}cout<<ans<<endl;
}
int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){sove();}return 0;
}

2.滚动数组
在转移的时候只用到了i和i-1层，那么我们就将i这一维开两个，在转移的时候在两维之间相互转移就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,x;
int f[3][505][1005];
char a[505][505];
bool  cheek(int x,int y){if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m) return true;else return false;
}
void sove(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>a[i][j];}}for(int i=0;i<3;i++){for(int j=0;j<=m;j++){for(int k=0;k<=x;k++){f[i][j][k]=-0x3f3f3f3f;}}
}if(a[1][1]=='1'){f[1][1][0]=1;}else if(a[1][1]=='0'){f[1][1][0]=0;}else{f[1][1][1]=1;f[1][1][0]=0;}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){for(int k=0;k<=x;k++){if(a[i][j]=='1'){if(cheek(i-1,j)){f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i-1&1][j][k]+1);}if(cheek(i,j-1)){f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i&1][j-1][k]+1);}}else if(a[i][j]=='0'){if(cheek(i-1,j)){f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i-1&1][j][k]);}if(cheek(i,j-1)){f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i&1][j-1][k]);}				}else{if(cheek(i-1,j)){f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i-1&1][j][k]);if(k-1>=0)f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i-1&1][j][k-1]+1);}if(cheek(i,j-1)){f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i&1][j-1][k]);if(k-1>=0)f[i&1][j][k]=max(f[i&1][j][k],f[i&1][j-1][k-1]+1);}	}}}}int ans=0;for(int i=0;i<=x;i++){ans=max(ans,f[n&1][m][i]);}	cout<<ans<<endl;
}
int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){sove();}return 0;
}