非线性系统的线性化与泰勒级数

线性系统与非线性系统的区别

我们在读论文的时候经常会遇到这两个系统，线性系统与非线性系统，这两者之间有什么区别呢？

线性指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；非线性则指不按比例、不成直线的关系代表不规则的运动和突变。

在判断是否是线性系统上，主要看叠加原理（Superposition）!!!

系统的方程为 $\dot{x}=f(x)$ ，如果 $x_1,x_2$ 是方程的解，有 $x_3=k_1{x}_1+k_2{x}_2(k_1,k_2\in \mathbb{R})$ ，且 $x_3$ 也是方程的解，则系统符合叠加原理，为线性系统。

举个例子：
$$\begin{gathered} \ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}x=0(线性系统) \\ \ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}{x}^2=0(非线性系统) \\ \ddot{x}+2sin(\dot{x})+\sqrt{2}x=0(非线性系统) \end{gathered}$$

线性化方法

泰勒级数（Taylor Series）
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$
如果 $x-x_0\to 0$，则 $(x-x_0{)}^2\to 0$ ，则 $(x-x_0{)}^n\to 0$ 。$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)=k_{2}x+b$，其中$k_2=f^{\prime }(x_0),b=f(x_0)-f^{\prime }(x_0)x_0$ 。

线性化是在某一点附近的线性化，而不是全局的线性化。

一维系统，举个例子

$$\ddot{x}+\dot{x}+\frac{1}{x}=1$$

在平衡点（Fixed Point）附近线性化。
$$\ddot{x}=\dot{x}=0\Rightarrow \frac{1}{x}=1\Rightarrow x_0=1$$
所以平衡点为 $x_0=1$ 。在$x_0$ 附近 $x_{\delta }=x_0+x_d$ ， 所以有
$${\ddot{x}}_{\delta }+{\dot{x}}_{\delta }+\frac{1}{x_{\delta }}=1$$
运用上面的泰勒级数，先线性化 $\frac{1}{x_{\delta }}$
$$f(x_{\delta })=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_{\delta }-x_0)$$

$$\frac{1}{x_{\delta }}=\frac{1}{x_0}+(-\frac{1}{x_0^2})(x_{\delta }-x_0)=\frac{1}{x_0}-\frac{x_d}{x_0^2}=1-x_d$$

$$\{\begin{array}{l}{\ddot{x}}_{\delta }={\ddot{x}}_0+{\ddot{x}}_d\\ {\dot{x}}_{\delta }={\dot{x}}_0+{\dot{x}}_d\\ \frac{1}{x_{\delta }}=1-x_d\end{array}\Rightarrow {\ddot{x}}_0+{\ddot{x}}_d+{\dot{x}}_0+{\dot{x}}_d+1-x_d=1\Rightarrow {\ddot{x}}_d+{\dot{x}}_d-x_d=0$$

二维系统，举个例子

2维空间中，在平衡点附近

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=f_1(x_1,x_2)\\ {\dot{x}}_2=f_2(x_1,x_2)\end{array}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_{1d}\\ {\dot{x}}_{2d}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{x_1}& \frac{\partial f_1}{x_2}\\ \frac{\partial f_2}{x_1}& \frac{\partial f_2}{x_2}\end{array}\right]}_{x=x_0}\left[\begin{array}{c}{x}_{1d}\\ x_{2d}\end{array}\right]$$

$$\ddot{x}+\dot{x}+\frac{1}{x}=1$$

let $x_1=x,x_2=\dot{x}$ ，that has

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=\ddot{x}=1-\dot{x}-\frac{1}{x}=1-x_2-\frac{1}{x_1}\end{array}$$

寻找平衡点，令 ${\dot{x}}_1=0,{\dot{x}}_2=0$ ，则有平衡点$x_{10}=1,x_{20}=0$，

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_{1d}\\ {\dot{x}}_{2d}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -(-\frac{1}{x_1^2})& -1\end{array}\right]}_{x_0}\left[\begin{array}{c}{x}_{1d}\\ x_{2d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{1d}\\ x_{2d}\end{array}\right]$$
即
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{1d}=x_{2d}\\ {\dot{x}}_{2d}=x_{1d}-x_{2d}\end{array}$$
其实我们只需要下半部分
$${\dot{x}}_{2d}=x_{1d}-x_{2d}\Rightarrow {\ddot{x}}_d=x_d-{\dot{x}}_d\Rightarrow {\ddot{x}}_d+{\dot{x}}_d-x_d=0$$
和上面的一维系统的等式是一样的。

总结

线性化公式，$x-x_0\to 0$
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$