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「4」线性代数(期末复习)

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目录

第四章 向量组的线性相关性

&2)向量组的线性相关性

&3)向量组的秩

&4)线性方程组的解的结构


 

第四章 向量组的线性相关性

&2)向量组的线性相关性

定义4:给定向量组A:a[1],a[2],…,a[m];如果存在不全为零的数k[1],k[2],…,k[m],使
k[1]a[1]+k[2]a[2]+…+k[m]a[m]=0
则称向量组A是线性相关的,否则它就线性无关
定理4    向量组A:a[1],a[2],…,a[m]线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a[1],a[2],…,a[m])的秩小于向量个数m;向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m
定理5    (1)若向量组A:a[1],a[2],…,a[m];线性相关,则向量组B:a[1],a[2],…,a[m],a[m+1]也线性相关(R(A)<m,则R(A)+1<m+1,所以R(B)<m+1)。反之,向量组B线性无关,则向量组A也线性无关(R(B)=m+1,则R(A)+1=m+1,所以R(A)=m)
(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量的个数m时一定线性相关,特别地n+1个n维向量一定线性相关(R(A)<n+1))。
(3)设向量组A:a[1],a[2],…,a[m];线性无关,而
量组B:a[1],a[2],…,a[m],b线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示式惟一

&3)向量组的秩

定义5:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a[1],a[2],…,a[r],满足
(i)向量组A:a[1],a[2],…,a[r]线性无关
(ii)向量组A中仍意r+1个向量(如果A中r+1个向量的话)都是线性相关的,那么称向量组A[0]是向量组A的最大线性无关向量组(简称最大无关组),最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩,记作R[A]
推论(最大无关组的等价定义):设向量组A[0]:a[1],a[2],…,a[r]是向量组A的一个部分组,且满足
(i)向量组A[0]线性无关
(ii)向量组A的任一向量都能由向量组A[0]线性表示,那么向量组A[0]便是向量组A的一个最大无关组
定理6    矩阵的秩等于它列向量的秩,也等于行向量的秩
极大无关组不唯一

&4)线性方程组的解的结构

Ax=0(*)
性质1    若x=𝜉[1],x=𝜉[2]为方程组(*)的解,则x=𝜉[1]+𝜉[2]也是方程(*)的解
性质2    若x=𝜉[1]为向量方程(*)的解,k为实数,则x=k𝜉[1]也是向量方程(*)的解
定理7    设mxn矩阵A的秩R[A]=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R[s]=n-r
 Ax=b(#)
性质3    设x=𝜂[1]及x=𝜂[2]都是向量方程(#)的解,则x=𝜂[1]-𝜂[2]为对应的齐次线性方程组Ax=0的解
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