「5」线性代数（期末复习）

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目录

 第四章 向量组的线性相关性

&5）向量空间

第五章    相似矩阵及二次型

&1）向量的内积、长度及正交性

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 第四章 向量组的线性相关性

&5）向量空间

定义6:设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及数乘运算封闭，那么就称集合V为向量空间

性质：n元齐次线性方程组的解集

S=|x|Ax=0|

是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）因为由齐次线性方程组的解的性质1和性质2，即知其解集S对向量的线性运算封闭

同理的S=|x|Ax=b|不是向量空间(集合S对于向量的加法及数乘运算不封闭)

定义8:设V为向量空间，如果r个向量a[1],a[2],…,a[r]∈V,且满足

（i）a[1],a[2],…,a[r]线性无关；（极大无关组）

（ii）V中任一向量都可由a[1],a[2],…,a[r]线性表示

那么，向量组a[1],a[2],…,a[r]就称为向量空间V的一个基（极大无关组），r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间

定义9:如果在向量空间V中取一个基a[1],a[2],…,a[r]，那么V中任一向量x可惟一地表示为

x=𝛌[1]a[1]+𝛌[2]a[2]+…+𝛌[r]a[r]

数组𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[r]称为向量x在基a[1],a[2],…,a[r]的坐标

过渡矩阵：

P=A^-1·B    B=PA（这里的P是矩阵A到B的过渡矩阵）

这里可以用初等变换

第五章    相似矩阵及二次型

&1）向量的内积、长度及正交性

定义1:设有n维向量

[x,y]称为向量x与y的内积（其实就是向量的点乘）

内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有

[x,y]=(x^T)·y

内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，𝛌为实数）：

（i）[x,y]=[y,x];

（ii）[𝛌x,y]=𝛌[x,y];

（iii）[x+y,z]=[x,z]+[y,z]

（iv）当x=0时，[x,x]=0;当x!=0时，[x,x]>0

施瓦茨不等式：

[x,x]^2<=[x,x]+[y,y]

定义2：令

||x||=([x,x])^(1/2)=(x[1]^2+x[2]^2+..+x[n]^2)

||x||称为n维向量x的长度（或范数）

向量长度具有下述性质：

（i）非负性 当x!=0，||x||>0;当x=0时，||x||=0;

（ii）齐次性 ||𝛌x||=|𝛌|·||x||；

当||x||=1时，称x为单位向量，若a!=0，取x=a/||a||，则x是一个单位向量，由向量a得到x的过程称为把向量a单位化

正交向量组：是指一组两两正交的非零向量

注：零和任何向量都正交

定理1    若n维向量a[1],a[2],…,a[r]是一组两两正交的非零向量，则a[1],a[2],…,a[r]线性无关

定义3:设n维向量e[1],e[2],…,e[r]是向量空间的V(V⊆R^n（n是维数）)的一个基，如果e[1],e[2],…,e[r]两两正交，且都是单位向量，则称e[1],e[2],…,e[r]是V的一个标准正交基，例如

施密特正交化

定义4:如果n阶矩阵A满足

A^T·A=E(即A^-1=A^T)

那么称A为正交矩阵，简称正交阵

正交矩阵的性质：

（I）若A为正交阵，则A^-1=A^T也是正交阵，且|A|=1或（-1）；

（ii）若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵

定义5：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换，则有

||y||=(y^T·y)^(1/2)=(x^T·P^T·P·x)^(1/2)=(x^T·x)^(1/2)=||x||

正交变换的长度保持不变

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