什么是时间复杂度？

时间复杂度定义：在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

时间复杂度

        时间复杂度是算法执行时间随输入规模增长而增长的量度，通常用大 O 记号表示。它反映了算法在解决问题时所耗费的时间资源，也可以理解为算法的运行效率。时间复杂度分析的目的是确定算法执行时间与输入规模之间的关系，并帮助我们选择更高效的算法来解决问题。

        提到时间复杂度，第一时间想到的是算法，简单说，算法就是你解决问题的方法，而你用这个方法解决这个问题所执行的语句次数，称为语句频度或者时间频度，记为T(n)。

        那么问题来了，我们为什么要引入这些个概念呢。因为我们想要的是执行一个算法耗费的时间，这个时间理论上可以得到，但是，要得到这个时间就必须要上机测试，但是有这个必要吗？我们需要知道的是哪一个算法需要的时间多，哪一个算法需要的时间少，这样就可以了。而且，算法的耗时和语句的执行次数是成正比的，即语句执行越多，耗时越多。这也就是我们引入概念的原因。

        在上面提到的时间频度T(n)中，n是指算法的规模，n不断的变化，T(n)就会不断的变化，而这些变化的规律是怎样的呢？于是我们引入了时间复杂度的概念。

        什么是时间复杂度，算法中某个函数有n次基本操作重复执行，用T(n)表示，现在有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。通俗一点讲，其实所谓的时间复杂度，就是找了一个同样曲线类型的函数f(n)来表示这个算法的在n不断变大时的趋势 。当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。         

        我们用大O表示法表示时间复杂性，它是一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界但并不是上确界。

        “大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。 

        时间复杂度对于算法进行的分析和大致的比较非常有用，但是真正的情况可能会因为一些其他因素造成差异。比如一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。但是，n越来越大以后，相比较而言较慢上升函数的算法会运行的更快。

时间复杂度是渐进的      

        常见的时间复杂度有：O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)、O(n²) 等。其中，O(1) 表示算法的执行时间不随输入规模增长而增长；O(log n) 表示算法的执行时间随输入规模增长而增长，但增长速度非常缓慢；O(n) 表示算法的执行时间与输入规模成线性增长关系；O(n log n) 表示算法的执行时间随输入规模增长而增长，并且增长速度介于线性和平方之间；O(n²) 表示算法的执行时间随输入规模增长而呈现平方级别的增长。 

        在实际的算法设计和分析中，我们通常关注最坏情况下的时间复杂度，即算法在处理最难的输入时所需的时间。

        如果我们将算法中的一次计算记为 1，那么如果有 n 个输入值，算法对每一个输入值做一次运算，那么整个算法的运算量即为 n。这个时候，我们就可以说，这是一个时间复杂度为 O(n) 的算法。

        同理，如果仍有 n个输入值，但算法对每一个输入值做一次运算这个操作需要再重复n次，那么整个算法的运算量即为n*n = n^2，时间复杂度为 O(n^2) 。

        这时如果对每一个输入值做一次运算，而这个操作需要重复n+1次，算法运算量变为：

                n(n+1) = n^2 + n。

        这时的时间复杂度是否改变为O(n^2+n)呢？

        上文曾提到时间复杂度考察的是当输入量趋于无穷时的情况，所以当 n趋于无穷的时候，n^2 对算法运行时间占主导地位，而 n 在 n^2 面前就无足轻重，不计入时间复杂度中。

        换句话说，因为n^2 + n渐近地（在取极限时）与 n^2相等。此外，就运行时间来说，n 前面的常数因子远没有输入规模 n的依赖性重要，所以是可以被忽略的，也就是说O(n^2)和 是O(n^2/2)相同时间复杂度的，都为O(n^2)。

简单算法的时间复杂度举例 

        O(1)的算法是一些运算次数为常数的算法。例如：

            temp=a;a=b;b=temp;

        上面语句共三条操作，单条操作的频度为1，即使他有成千上万条操作，也只是个较大常数，这一类的时间复杂度为O(1)。

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        O(n)的算法是一些线性算法。例如：

            sum=0；                 

            for(i=0;i<n;i++)       

            sum++；

        上面代码中第一行频度1，第二行频度为n，第三行频度为n，所以f(n)=n+n+1=2n+1。所以时间复杂度O(n)。这一类算法中操作次数和n正比线性增长。

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        O(logn) 一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。举个栗子：

            int i=1; 

            while (i<=n) 

            i=i*2; 

        上面代码设第三行的频度是f(n),   则：2的f(n)次方<=n;f(n)<=log₂n，取最大值f(n)= log₂n，所以T(n)=O(log₂n ) 。

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        O(n²)（n的k次方的情况）最常见的就是平时的对数组进行排序的各种简单算法都是O(n²)，例如直接插入排序的算法。

        而像矩阵相乘算法运算则是O(n³)。

        举个简单栗子：

            sum=0；                

            for(i=0;i<n;i++)  

            for(j=0;j<n;j++) 

            sum++；

        第一行频度1，第二行n，第三行n²，第四行n²，T(n)=2n²+n+1 =O(n²)

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        O(2的n次方) 比如求具有n个元素集合的所有子集的算法 

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        O(n!) 比如求具有N个元素的全排列的算法

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        时间复杂度按n越大算法越复杂来排的话：常数阶O(1)、对数阶O(logn)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlogn)、平方阶O(n²)、立方阶O(n³)、……k次方阶O(n的k次方)、指数阶O(2的n次方)。

借用别人的图：

总结

        时间复杂度是一个衡量算法运行效率的概念，表示随着问题规模n的增加，算法所需的执行时间的增速。一般用大O符号来表示，称为“大O记号”，如O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)等。

        不同的算法在处理同一问题时，其时间复杂度可以有明显的差异，因此选择高效的算法对于解决大规模数据问题时尤为重要。

        时间复杂度的目的是为了帮助我们在实际开发中，选择更优秀的算法来解决具有不同规模的问题。因为对于大规模的问题，其时间复杂度的差异会直接影响到算法的实际执行效率。因此，我们需要在算法设计时考虑时间复杂度，选择最优的算法来处理实际的问题。

        需要注意的是，时间复杂度并非表示具体的执行时间，而是代表了算法执行时间和输入规模之间的关系，因此只能用于算法之间的比较，不能直接用于预测算法的实际执行时间。