激发数学思维：GPT-4实证研究探索挑战性数学问题

深度学习自然语言处理 原创
作者：wkk

考虑到自然语言在许多科学和工程领域表达的数学问题的丰富性，使用大语言模型(LLM)来解决数学问题是一项有趣的研究工作。今天给大家介绍一篇微软研究院联合欧美高校关于如何使用GPT-4解决数学问题的研究论文。

之前的许多工作研究了如何使用LLM解决基本的数学问题，本文探索了使用GPT-4解决更复杂和更具挑战性的数学问题。论文评估了使用GPT-4的各种方法，其中主要贡献是提出了MathChat架构，这是此项工作新提出的会话问题解决框架。通过对MATH数据集中困难的高中竞赛问题进行评估，展现了所提出的对话方法的优势。

下面让我们一起来探究MathChat的模型结构，看看它是如何做到从容应对数学难题的！

论文：An Empirical Study on Challenging Math Problem Solving with GPT-4
地址：https://arxiv.org/abs/2306.01337

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1.前言

随着大语言模型的发展，其在跨领域内的各项任务上发挥出了出色的性能。考虑数学在众多科学和工程领域内起到的关键作用，因此探索大语言模型用于解决数学问题是极具研究价值的。对于GPT-4语言模型，鲜有研究探索其解决数学问题的能力。本研究在Bubeck等人的研究基础上调整和评估了几种现有的使用LLMS的方法来适应GPT-4的使用，包括普通提示符和思维程序(POT)提示符。上图是使用MathChat解决数学问题过程的示例。用户通过将数学问题发送到GPT-4来启动对话。从GPT-4的响应中，用户能够提取代码并按顺序执行它们。其记录了之前运行的有效代码，并将与新代码共同执行，以反映模型的逐步推理进度。结果将返回给GPT-4，GPT-4将继续其问题解决过程。在Iddo等人的研究基础上，进一步提出了MathChat，工作流程如下图所示这是一个为基于聊天的LLM量身定制的对话框架，其中数学问题是通过模型和用户之间的模拟对话来解决的，然后对MATH数据集(一个来自各种比赛和教育水平的数学问题的综合集合)进行评估。我们的研究针对该数据集中的5级难度问题，这些问题主要由具有挑战性的高中竞争问题组成。评估表明，MathChat可以将以前的提示方法进一步提高6%，并且可以在一半的类别上达到60%的准确率，同时还展示了具有不同提示和不同工具的MathChat的可扩展性。

2.现有的数学问题求解中使用LLM的方法

本节介绍使用现有的LLM各种方法，这些方法可用于解决数学问题。包括专门为数学问题解决而设计的技术，之后总结了一般方法。从我们的调查中，目前只有一种方法是针对具有挑战性的数学问题，而其他大多数方法都是在小学数学上进行评估的。

2.1专门为数学问题解决而设计的技术

尽管有创造性的方法将LLM用于不同的任务，但只有少数方法被提出用于解决数学问题。通过使用LLM将算术计算和其他涉及数学问题解决的基本操作装载到程序中。具体而言，使用Codex通过将CoT提示与代码交错，将数学问题分解为可运行的步骤，从而生成可执行的Python代码来解决数学问题。还使用Codex生成基于代码的问题答案。虽然促使模型解决数学单词问题，有研究探索了程序辅助编码对大学级问题的能力，包括从math数据集中随机抽样的问题。除了使用Python，还提出了一种解决基本算术和逻辑问题的方法，将生成的答案连接回问题，并让模型预测原始条件，以验证该答案的正确性。

2.2一般方法

可用于改进数学求解的一般方法包括(1)chain-of-thought prompting、(2)multi-stage prompting、(3)tool-using和(4)self-consistency。其中，本文回顾了一些最新的研究方法。Timo等人训练一个工具转换器，它可以决定何时发送API调用。Bhargavi使用few-shot提示来交错逐步推理和工具使用。Aman等人的研究首先使用GPT-3.5生成输出，并使用相同的模型给出输出的反馈，然后要求模型根据反馈细化输出。尽管这些通用方法可以应用于解决数学单词问题，但这些方法不是为解决数学问题量身定制的，并且主要在更简单的数学任务上进行评估。

3.MathChat：用于解决数学问题的对话框架

A conversational framework with user proxy agent：MathChat是一个模拟LLM助手和用户之间模拟对话的框架。这里，用户是在与LLM助手的对话中扮演用户角色的代理。在MathChat中，助手和用户共同解决数学问题。初始化提示用于指示LLM助手以某种期望的方式与用户协作解决问题。该框架以这种对话方式设计，以便利用最先进的LLM的聊天优化功能。该框架的另一个明显好处是，它能够进行多回合对话，这在解决需要多步骤推理和工具使用的复杂问题时尤其有用。

Prompting and tool-using in MathChat：通过适当的修改，可以将现有研究中的有效提示方法（如CoT和工具使用）集成到MathChat框架中。具体来说，对于初始消息中的提示，我们聚合了多种有效的提示技术来指导LLM助手。我们在图4中展示了设计好的提示，它由三个主要组件组成。

1). Tool-using Prompt: 该组件提示LLM使用正确格式的Python编程来解决问题。使用“query reqiurement”小节来指定编码格式，以便用户代理可以解析代码并返回相应的结果。如下图所示：

2). Problem-Solving Strategy Selection Prompt: 该组件指示助手从三种可能的解决问题的策略中进行选择，并在最后一种策略中执行多阶段推理和工具使用。问题解决策略包括以下三种情况，涵盖了现有数学问题解决文献中最有效的策略。

Case1: 编写一个Python程序来直接解决问题。
Case2: 不使用Python直接解决问题。这种策略允许GPT-4运用其固有的推理能力来解决手头的问题。  
Case3: 逐步解决问题，并使用Python帮助进行数学运算。如果前两种方法不合适，我们要求模型选择这种方法来解决问题。我们创建了多步骤工具使用提示符的零样本版本，该提示符允许模型在多步骤推理和Python代码之间灵活交错。在这种情况下，要求模型处理程序运行中的错误和意外结果。

3). Final Answer Encapsulation Prompt: 提示的此组件指示LLM助手将最终答案包含在'\boxed{}'中，该答案将用作结束对话的指示符。LLM助手和用户代理之间的这种交互将继续进行，直到检测到'\boxed{}'或达到最大轮数对话。如下图所示：

评估

数据集

Dan等人提出的MATH数据集，本文对其中的最高等级难度的数学题目进行评估，其中包括七类问题：Prealgebra, Algebra, Number Theory, Counting and Probability, Geometry, Intermediate Algebra, and Precalculus(前代数、代数、数论、计数和概率、几何、中间代数和前微积分)。在本研究中，删除了对几何问题的评估。

评估方法

以前的大多数工作都使用few-shot examples引出LLM和工具使用的推理，因而模型就会模仿示例来遵循所需要的格式或模式。选择与未回答的问题类似的示例，然后对这些示例进行注释，以涵盖LLM可能遇到的所有情况,多项现有研究揭示了GPT-4遵循指令的显著能力。因此，我们对zero-shot prompt技术感兴趣，该技术可以增强GPT-4的数学求解，而无需任何示例选择和注释。按照这个标准，使用引入的提示符和以下所有few-shot方法评估MathChat框架：Vanilla prompt、Program of Thoughts和Program Synthesis prompt。

• vanilla prompt: GPT-4可以在无few-shot的情况下执行CoT推理。为了直接评估GPT-4在解决问题方面的性能，使用了一个默认提示，改编自MATH数据集中的小样本提示:"Solve the problem carefully.   Put the final answer in \boxed{ }. {Problem}".

• Program of Thoughts: 使用来自Chen等研究人员的zero-shot PoT提示，要求模型编写求解器函数来解决这个问题并直接返回最终答案。

• Program Synthesis prompt: 与PoT类似，Program Synthesis(程序合成)提示方法使用提示来要求模型编写程序来解决问题:"Write a program that answers the following question: {Problem}".

评估细节

将GPT-4上的不同方法与OpenAI API的默认配置进行了比较。在MathChat中，仅允许GPT-4和用户之间的最多发送15条消息。如果用户从3次连续执行中检测错误，将明确地要求GPT-4自行解决每个步骤。为了避免用户的极长响应，代理将用户消息中的警告文本替换超过600个标记的任何结果，以要求GPT-4修改先前的代码。我们手动遍历所有方法的答案来计算所有正确答案。对于普通提示、程序合成和MathChat，我们要求GPT-4包含 "\boxed{ }"中的最终答案，因此只会提取框中的答案。对于PoT，我们遵循原始论文将求解器函数的反馈作为最终答案。

实验结果

主要结果

对MATH数据集中的6类的5级问题进行了评估。表1中报告了不同方法在每个类别中的解决问题的准确率。与GPT-4的普通提示相比，使用带有POT或PS的Python将整体准确率提高约10%。在涉及更多数字运算的类别(计数、概率和数论)和更具挑战性的类别(中级代数和预微积分)中发现这种改进。然而，对于代数和预代数，POT和PS几乎没有什么改进，甚至导致精度降低。与POT和PS相比，MathChat可以进一步将总准确率提高6%左右，并且在所有类别上都具有竞争力的性能。值得强调的是，与其他方法相比，MathChat将代数类别的准确率提高了约15%。综合考虑各种方法，中级代数和预微积分的求解准确率只有20%左右。其他类别的问题中，超过一半可以通过MathChat正确解决。

在MathChat上进行附加评估，并提供其他提示

MathChat能够轻松合并不同的提示和工具。本研究通过执行额外的评估来测试使用MathChat的两个替代初始提示，以证明其可扩展性。

(1) 使用Python的简化提示：在这种替代方案中，只保留Python编码格式的"query reqiurments"小节和默认提示中的逐步工具使用。

(2) Python和Wolfram Alpha的简化提示：在方案1的基础上，添加了Wolfram Alpha，这是一个计算引擎，作为LLM助手从中选择的附加工具。对六个问题类别中的每一个中随机抽取的50个示例进行评估。还在样本问题中包含了其他方法的结果，在下表中进行比较。MathChat仍然比具有两个新的提示的其他方法表现更好。使用MathChat，允许Python和Wolfram的逐步提示在代数上表现最好，而只有Python的新提示解决了Pre代数和Precalculus中的大多数问题，但在Number Theories上的性能更差。总体而言，带有默认提示的MathChat仍然表现最好。

错误分析

原因

通过对错误案例进行总结，主要观察到以下三种失败原因。

(1) 未能设计或选择合适的计划或路径来解决问题
(2) MathChat未能完美地执行设计的计划
(3) 其他技术错误

总结与未来工作

本文对GPT-4在高等数学解题中的不同使用方式进行了评价。介绍了一个基于GPT-4的对话框架MathChat，它允许该模型与代理用户代理交互来解决数学问题。MathChat是为GPT-4等聊天优化模型设计的，它可以扩展，只需很少的工作就可以与不同的提示和不同的工具一起使用。在该框架的基础上，还推导出了一个提示符，该提示符集合了以往在MathChat上使用的提示技术。

对MATH数据集的5级问题的评估表明，MathChat在解决更复杂和更具挑战性的问题方面的有效性。尽管与以前的方法相比有所改进，但结果表明，即使在外部工具的帮助下，复杂的数学问题对于最近的强大LLM仍然具有挑战性。一方面，由于执行错误，GPT-4无法解决相当数量的问题。虽然MathChat试图改进这一点，但可以做进一步的工作来增强这个框架。

Human-in-the-loop扩展。基于GPT-4的MathChat具有很大的潜力，可以被改编成辅助驾驶系统，以帮助人们解决数学问题。MathChat的设计很自然地帮助人们与GPT-4进行交流。使用MathChat中的预设提示，用户可以直接输入问题并获得逐步的响应。此外，可以将MathChat系统设计为在每一步都停止，以允许用户覆盖代理代理的消息。我们设想这个系统可以让用户参与到解决数学问题的过程中，并促进学习。

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