线性代数行列式的几何含义

行列式可以看做是一系列列向量的排列，并且每个列向量的分量可以理解为其对应标准正交基下的坐标。

行列式有非常直观的几何意义，例如：

二维行列式按列向量排列依次是$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，可以表示$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$构成的平行四边形的面积

$$\begin{array}{rl}|\mathbf{ab}|& =\left|\left(x_a\mathbf{x}+y_a\mathbf{y}\right)\left(x_b\mathbf{x}+y_b\mathbf{y}\right)\right|\\ & =x_a{x}_b|\mathbf{xx}|+x_a{y}_b|\mathbf{xy}|+y_a{x}_b|\mathbf{yx}|+y_a{y}_b|\mathbf{yy}|\\ & =x_a{x}_b(0)+x_a{y}_b(+1)+y_a{x}_b(-1)+y_a{y}_b(0)\\ & =x_a{y}_b-y_a{x}_b.\end{array}$$

三维行列式按列向量排列依次是$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$和$\mathbf{c}$，可以表示$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$和$\mathbf{b}$构成的平行六面体的体积

$$\begin{array}{rl}|\mathbf{abc}|& =\left|\left(x_a\mathbf{x}+y_a\mathbf{y}+z_a\mathbf{z}\right)\left(x_b\mathbf{x}+y_b\mathbf{y}+z_b\mathbf{z}\right)\left(x_c\mathbf{x}+y_c\mathbf{y}+z_c\mathbf{z}\right)\right|\\ & =x_a{y}_b{z}_c-x_a{z}_b{y}_c-y_a{x}_b{z}_c+y_a{z}_b{x}_c+z_a{x}_b{y}_c-z_a{y}_b{x}_c.\end{array}$$