DSA之图（3）：图的遍历

0 图的遍历

实际上就是找出每个顶点的邻接点的过程。

1 图的遍历方法

图常用的遍历有两种方法：

1. 深度优先搜索DFS
2. 广度优先搜索BFS

1.1 深度优先搜索DFS

基本思路就是，一条路走到黑，走到无路可走就往回退，再检查是否有未走过的路（邻接点）。
（发现有邻接点未访问就去访问，直到所有邻接点都被访问）

1.1.1 DFS的思想

记住，往回退的时候只能走来的时候的路（原路返回）。

DFS很像树的先序遍历。

1.1.2 邻接矩阵DFS的实现

每个顶点只能访问一次，设置一个辅助数组Visted[i]，开始的时候将数组初始化为0，所有顶点一开始都没访问过，访问过就设置1。

基本流程：

假设，起点从$v_2$开始，并将其在辅助数组中的值改为1，接下来看$v_2$的没有被访问过的邻接点。怎么去找呢？查看邻接矩阵，行下标为2的，顺序去找。现在$v_2$的一个邻接点为$v_1$，正好$v_1$没有访问过（因为visited[1]=0），所以就可以往$v_1$那里走。到了$v_1$后，开始找$v_1$未访问的邻接点，按顺序来，首先找到了$v_2$，但是$v_2$此时被访问过了，不能访问，所以接着寻找，找到了$v_3$，没被访问过，就可以访问。到了几号，就要从几号出发，进行DFS。过了$v_3$找到了$v_5$没有访问，即走到了$v_5$。到了$v_5$发现$v_2$和$v_3$都访问过了，所以进行回退，此时$v_5$是由$v_3$访问过来的，所以先回退到$v_3$，从哪来的就往哪里退，再接着从$v_3$访问，此时，与$v_3$相关的都被访问了，所以继续回退，回退到$v_1$继续进行DFS，发现$v_4$还没被访问，进行访问同时数组置1。到了$v_4$发现$v_6$还没被访问，所以进行访问。到了$v_6$发现邻接点都被访问了，所以往回退到$v_4$。$v_4$往回退为$v_1$，还是都访问过，再回退到$v_2$，发现还是都访问过了，再发现visited[i]数组全是1，都访问过了，DFS结束。

1.1.3 邻接矩阵DFS的代码实现

void DFS(AMGraph G, int v) //图G为邻接矩阵类型
{cout << v;visited[v] = true; //访问第v个顶点for (w = 0; w < G.vexnum; ++w) //依次检查邻接矩阵v所在的行{if((G.arcs[v][w]!=0) && (!visited[w])){DFS(G, w);//w是v的邻接点，如果w未访问，则递归调用DFS}}
}

1.1.4 非连通图的DFS遍历

从任意一个顶点开始，找其未被访问的邻接点进行访问。当连通图的顶点都访问完后，再在其他的未被访问的顶点当中选一个点进行访问，进行DFS。

1.1.5 DFS算法效率分析

1.2 广度优先搜索BFS

1.2.1 BFS的思想（连通图）

首先从一个点开始（假设就是入口的那个点），访问其所有的邻接点，如下所示：

都点亮之后，再扩大一层，即找邻接点的邻接点，直到所有点都被访问。

1.2.2 BFS的思想（非连通图）

也是从一个顶点出发，访问其邻接点，之后再找邻接点的邻接点。接下来找非连通的部分，未访问的顶点中任取一个来访问。

1.2.3 邻接表BFS的实现

需要一个visited[i]数组来表示点是否被访问。
其实现过程，访问顺序与树的层次遍历有点像。在树的层次遍历当中，是用队列来实现的，加入节点，加入其孩子，加入其孩子的孩子，以此类推；而邻接表当中是加入节点，加入其邻接点，加入其邻接点的邻接点，以此类推。

实现过程
0号位置即$v_1$入队，在队尾，队尾指针移动一下，visited[0]相应的置1，代表被访问过，之后队列中的0号出队，找其邻接点并入队。



如何找$v_1$的邻接点？在邻接表中进行寻找，第一个单链表就是。发现了1号位置的$v_2$和2号位置的$v_3$，被访问了，数组相应位数置1，且入队。
被访问后就出队，出队到$v_2$，找其邻接点3号也就是$v_4$，进行入队置1，接下来又找到了4号也就是$v_5$，进行入队置1。


现在$v_2$顶点的两个邻接点都入队了。接下来就下一个，2号$v_3$为队头，出队，开始找其邻接点。找到了5号6号，即$v_6$和$v_7$。

之后再看3号即$v_4$的邻接点，为7号$v_8$，加入进来。
之后访问4号$v_5$的邻接点。将$v_5$的两个邻接点入队，但是1号和7号都入队了，所以忽略。
所以接着访问5号$v_6$发现其邻接点都访问过了。之后看6号的邻接点，也是都访问过了，之后看7号的邻接点，都访问过了。BFS结束。

1.2.4 邻接表BFS的代码实现

void BFS(Graph G, int v)//广度优先搜索
{cout << v;visited[v] = true; //访问第v个顶点InitQueue(Q, v); //辅助队列Q初始化，置空EnQueue(Q, v);//V进队while(!QueueEmpty(Q))//队列非空{DeQueue(Q, u); //队头元素出队并置为ufor (w = FirstAdjVex(G, u); w >= 0; w = NextAdjVex(G, u, w))if(!visited[w]) //w为u的尚未访问的邻接顶点{cout << w;visited[w] = true;EnQueue(Q, w); //w进队}}
}

1.2.5 BFS算法效率分析

2 DFS与BFS算法效率比较

空间复杂度：

• 空间复杂度相同，都是$O(n)$(借用了堆栈或队列)

时间复杂度：

• 时间复杂度只与存储结构（邻接矩阵或邻接表）有关，而与搜索路径无关。邻接矩阵为$O(n^2)$，邻接表为$O(n+e)$。