【数学建模】（智能优化算法）鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm)详解与应用

鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm)详解与应用

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1. 引言

鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)是一种基于生物行为的全局优化算法，由Mirjalili等人在2016年首次提出。该算法的灵感来源于座头鲸群体捕食的策略，特别是它们独特的泡泡网捕食行为。¹

作为一种新型的群体智能优化算法，WOA在许多领域展现出了优越的性能，甚至在某些应用场景中表现出远超传统算法的优势。随着人工智能和优化算法的不断发展，鲸鱼优化算法已成为研究热点之一。²

2. 算法原理

2.1 生物学基础

鲸鱼优化算法模拟了座头鲸的捕食行为。座头鲸在捕食时会包围猎物，并沿着螺旋路径形成独特的气泡网来完成捕食。这种行为是算法设计的核心灵感来源。³

2.2 数学模型⁴

鲸鱼优化算法主要包含三种行为模式的数学建模：

1. 包围猎物阶段

鲸鱼通过以下公式更新位置来包围猎物：

$$\{\begin{array}{l}D=|C\cdot X^{\ast }(t)-X(t)|\\ X(t+1)=X^{\ast }(t)-A\cdot D\end{array}$$

其中：

• $X(t)$ 是当前个体位置
• $X^{\ast }(t)$ 是当前最优个体位置
• $A$ 和 $C$ 是系数向量，计算方式为：
  $$\begin{gathered} A=2a\cdot r_1-a \\ C=2\cdot r_2 \end{gathered}$$
• $a$ 从2线性递减到0（迭代控制参数）：
  $$a=2-t\cdot \left(\frac{2}{T_{\text{max}}}\right)$$
• $r_1,r_2$ 是[0,1]内的随机向量

2. 气泡网攻击（螺旋更新）

鲸鱼以螺旋路径逼近猎物：

$$X(t+1)=D^{\prime }\cdot e^{bl}\cdot \cos (2\pi l)+X^{\ast }(t)$$

其中：

• $D^{\prime }=|X^{\ast }(t)-X(t)|$ 表示个体与最优解的距离
• $b$ 是定义螺旋形状的常数（通常设为1）
• $l$ 是[-1,1]间的随机数

实际实现中，包围和螺旋行为以50%概率切换：

$$X(t+1)=\{\begin{array}{ll}{X}^{\ast }(t)-A\cdot D& \text{if }p<0.5\\ D^{\prime }\cdot e^{bl}\cdot \cos (2\pi l)+X^{\ast }(t)& \text{if }p\ge 0.5\end{array}$$

3. 随机搜索猎物（全局探索）

当$|A|\ge 1$时，个体随机搜索：

$$\{\begin{array}{l}D=|C\cdot X_{\text{rand}}-X(t)|\\ X(t+1)=X_{\text{rand}}-A\cdot D\end{array}$$

其中$X_{\text{rand}}$是当前种群中的随机个体位置。

完整算法伪代码

1. 初始化鲸鱼种群Xi (i=1,2,...,n)
2. 计算每个个体的适应度
3. X* = 当前最优个体
4. while (t < 最大迭代次数) do
5.    for 每个个体 do
6.        更新a, A, C, l, p
7.        if (p < 0.5) then
8.            if (|A| < 1) then
9.                按公式(1)更新位置（包围猎物）
10.           else
11.               随机选择X_rand
12.               按公式(3)更新位置（随机搜索）
13.           end if
14.       else
15.           按公式(2)更新位置（气泡网攻击）
16.       end if
17.       检查边界并计算新适应度
18.       更新X*（如果找到更优解）
19.   end for
20.   t = t + 1
21. end while
22. return X*

关键参数说明表

参数	数学表示	作用	典型取值/范围
种群大小	n	影响算法全局搜索能力	30-50
迭代次数	T_max	控制算法运行时间	问题相关
收敛因子	a	平衡探索与开发	2→0线性递减
螺旋形状常数	b	控制螺旋形状	1（常数）
随机概率	p	选择更新策略	[0,1]均匀随机
随机系数	l	螺旋运动参数	[-1,1]均匀随机

2.3 改进方向中的数学扩展

1. 自适应参数改进：
   $$a=2(1-\frac{t}{T_{\text{max}}}{)}^k(k>1时为非线性递减)$$

2. 混合算法改进：
   $$X_{\text{new}}=w\cdot X_{\text{WOA}}+(1-w)\cdot X_{\text{OtherAlgorithm}}$$

3. 多目标优化扩展：
   $$\text{Minimize }[f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)]$$
   采用Pareto支配关系更新最优解集

3. 算法实现步骤

1. 初始化：随机生成鲸鱼种群位置
2. 适应度评估：计算每个个体的适应度值
3. 更新最优解：找到当前种群中的最优解
4. 位置更新：
   • 根据概率$p$选择更新策略
   • 若$p<0.5$，根据$|A|$的值决定是执行包围猎物还是搜索猎物
   • 若$p\ge 0.5$，执行气泡网攻击策略
5. 迭代：重复步骤2-4直到满足终止条件
6. 输出：返回最优解³

4. 算法优势与特点

鲸鱼优化算法具有以下几个显著特点：

1. 全局搜索能力强：通过模拟鲸鱼的随机搜索行为，算法具有较强的全局搜索能力
2. 局部开发能力优秀：螺旋更新机制使算法在找到潜在最优解后能够进行精细的局部搜索
3. 参数设置简单：相比其他元启发式算法，WOA的参数较少且易于调整
4. 收敛速度快：在多数测试函数上表现出较快的收敛速度^{4 2}

5. 应用领域

鲸鱼优化算法已在多个领域得到广泛应用：

1. 工程优化问题：如结构设计优化、参数优化等
2. 机器学习：特征选择、分类器优化、神经网络训练
3. 能源系统：电力系统优化、可再生能源调度
4. 图像处理：图像分割、目标识别
5. 调度问题：作业调度、资源分配^{1 2}

6. 算法变体与改进

随着研究的深入，研究人员提出了多种鲸鱼优化算法的变体和改进版本：

1. 二进制鲸鱼优化算法：用于解决离散优化问题
2. 多目标鲸鱼优化算法：处理具有多个冲突目标的优化问题
3. 混合鲸鱼优化算法：与其他算法(如粒子群、遗传算法等)结合，取长补短
4. 自适应鲸鱼优化算法：通过动态调整参数提高算法性能^{4 2}

7. 代码实现示例

以下是Python版本的鲸鱼优化算法基本框架：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef WOA(objective_function, dim, lb, ub, max_iter, search_agents_no):# 初始化种群positions = np.random.uniform(lb, ub, (search_agents_no, dim))# 初始化最优解fitness = np.zeros(search_agents_no)for i in range(search_agents_no):fitness[i] = objective_function(positions[i])leader_pos = positions[np.argmin(fitness)].copy()leader_score = np.min(fitness)# 迭代优化convergence_curve = np.zeros(max_iter)for t in range(max_iter):a = 2 - t * (2 / max_iter)  # a从2线性递减到0for i in range(search_agents_no):r1 = np.random.random()r2 = np.random.random()A = 2 * a * r1 - aC = 2 * r2p = np.random.random()if p < 0.5:if abs(A) < 1:# 包围猎物D = abs(C * leader_pos - positions[i])positions[i] = leader_pos - A * Delse:# 搜索猎物rand_leader_index = np.random.randint(0, search_agents_no)X_rand = positions[rand_leader_index]D = abs(C * X_rand - positions[i])positions[i] = X_rand - A * Delse:# 气泡网攻击distance_to_leader = abs(leader_pos - positions[i])b = 1  # 定义螺旋形状l = np.random.random() * 2 - 1positions[i] = distance_to_leader * np.exp(b * l) * np.cos(2 * np.pi * l) + leader_pos# 边界处理positions[i] = np.clip(positions[i], lb, ub)# 更新适应度new_fitness = objective_function(positions[i])# 更新领导者if new_fitness < leader_score:leader_score = new_fitnessleader_pos = positions[i].copy()convergence_curve[t] = leader_scorereturn leader_pos, leader_score, convergence_curve

³

8. 与其他优化算法的比较

与其他常见的群体智能优化算法相比，鲸鱼优化算法具有一定的优势：

1. 相比粒子群算法(PSO)：WOA具有更强的全局搜索能力，不易陷入局部最优
2. 相比遗传算法(GA)：WOA参数更少，实现更简单，且在许多测试函数上收敛速度更快
3. 相比蚁群算法(ACO)：WOA在连续优化问题上表现更好
4. 相比人工蜂群算法(ABC)：WOA在平衡全局搜索和局部开发方面有更好的机制^{4 2}

9. 总结与展望

鲸鱼优化算法作为一种新兴的群体智能优化算法，凭借其简单高效的特点，在众多领域展现出良好的应用前景。随着研究的深入，算法的改进和应用范围还将进一步扩展。

未来研究方向可能包括：

1. 算法理论基础的深入研究
2. 参数自适应调整机制的优化
3. 与深度学习等技术的结合
4. 在更多实际工程问题中的应用验证^{1 2}

参考资料

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1. 鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）. CSDN博客. https://blog.csdn.net/qq_39297053/article/details/137440233 ↩︎ ↩︎ ↩︎

2. 鲸鱼优化算法研究综述. 自动化学报. https://www.arocmag.cn/abs/2022.06.0347 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎

3. 超详细| 鲸鱼优化算法原理及其实现(Matlab/Python). CSDN博客. https://blog.csdn.net/sfejojno/article/details/133624149 ↩︎ ↩︎ ↩︎

4. 智能优化算法｜鲸鱼优化算法. 知乎专栏. https://zhuanlan.zhihu.com/p/690046477 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎