排队论基础一：马尔可夫排队模型

介绍

最近写论文需要，学了一下排队过程模型。其实这些内容本科的时候我都学过，但是好久没用都忘得差不多了。。。
排队过程指的是在一个事件（通常这个事件是购票，充电等服务）发生的过程中，客户以随机概率到达的过程。因此排队过程是一个随机过程，排队模型也是一个随机模型。下面我们对排队模型中的基本概念进行介绍。

基本概念

参数	解释
$\lambda$	单位时间内客户的平均到达数量
$\mu$	单位时间内服务台的平均服务数量
$\frac{1}{\lambda }$	相邻的两个客户到达的平均间隔时间
$\frac{1}{\mu }$	服务台对每个客户的平均服务时间
$\rho =\frac{\lambda }{\mu }$	单服务台的占用率，可以表示正在服务的人数

这里的$\rho =\frac{\lambda }{\mu }$表示正在服务的人数可能比较难理解，我们可以从下面的角度进行思考：

• 对于单服务系统：由于每次只能服务1个客户，被占用时“正在服务的人数”为1，空闲时为0,。因此，长期平均下来的正在服务的人数，就是服务台被占用的概率$\rho$。
• 对于多服务系统：此时有$\rho =\frac{\lambda }{c\mu }$表示每个服务台的占用率，那么平均“正在服务的人数”就可以记为$c\cdot \rho =\frac{\lambda }{\mu }$。

状态概率分布

状态概率分布通常用$P_n$表示，表示系统中有$n$个客户的概率。这里的系统可以理解为包含客户、服务台以及相关参数等的整体。

平均队列人数与平均排队人数

平均队列人数可以用$L$表示，而平均排队人数可以用$L_q$来表示

平均停留时间与平均等待时间

客户平均停留时间可以用$W$表示，客户平均等待时间可以用$W_q$来表示

Little公式（Little Law）

有了上面的定义之后，我们就可以得到排队的Little law。

Little’s Law的产生基于几个基本的假设：

• 稳态：系统处于稳定状态，意味着到达率和服务率不随时间变化。

• 平均值：公式中使用的是平均值，适用于在较长时间尺度上观察排队系统的行为。

• 对称性：到达的客户进入队列后，他们等待的时间和服务时间可以看作是随机的，符合某些概率分布。

具体公式如下：

$L=\lambda W$：表示平均队列人数（包含正在排队和正在服务的）为单位时间内客户的平均到达数量乘以客户的平均停留时间
$L_q=\lambda W_q$：表示平均等待人数为单位时间内客户的平均到达数量乘以客户的平均等待时间
$W=$