【MPC控制 - 从ACC到自动驾驶】3 MPC控制器设计原理与参数配置：打造ACC的“最强大脑”

【MPC控制 - 从ACC到自动驾驶】MPC控制器设计原理与参数配置：打造ACC的“最强大脑”

在Day 1，我们认识了ACC自适应巡航和MPC这位“深谋远虑的棋手”。Day 2，我们一起给汽车“画像”，建立了它的纵向动力学模型，并把它翻译成了计算机能懂的离散语言。可以说，我们已经为MPC准备好了“沙盘”和“棋子”。

那么今天，Day 3，我们将进入激动人心的核心环节：MPC控制器设计原理与参数配置。我们要揭开MPC大脑内部的秘密，看看它是如何思考，如何做决策，以及我们如何“调教”它，让它成为一个优秀的“智能驾驶员”。准备好了吗？这部分内容是MPC的灵魂所在，打起精神，我们发车！

想象一下，你现在已经有了一张精确的地图（车辆模型），并且知道每条路怎么走（模型方程）。现在，你想从A点到B点（控制目标，比如保持安全车距），你该如何规划路线呢？你可能会考虑：

• 哪条路最短？（效率）
• 哪条路最平坦？（舒适性）
• 路上有没有限速？（约束）
• 是不是只规划下一步，还是多看几步？（预测）

MPC做决策的过程，和这个非常相似。它会在一个“有限的未来”里，不断地进行“规划-执行-再规划”。今天，我们就来一步步解构这个“规划”过程。

MPC的核心运作三部曲：预测、优化、执行

我们昨天提到，MPC像个棋手。它的每一步行动，都遵循着一个固定的套路：

1. 预测未来 (Prediction): 基于我们Day 2建立的离散车辆模型 $\mathbf{x}(k+1)={\mathbf{A}}_d\mathbf{x}(k)+{\mathbf{B}}_{d}u(k)+{\mathbf{B}}_{wd}w(k)$，MPC会展望未来的一小段时间（称为预测时域 $N_p$）。它会尝试不同的控制输入序列 $u(k),u(k+1),\dots ,u(k+N_c-1)$ （其中 $N_c$ 是控制时域，$N_c\le N_p$），并预测在这些控制作用下，车辆未来的状态（如速度 $v_{ego}$、相对距离 $d_{rel}$）会如何演变。
   • 预测时域 $N_p$ (Prediction Horizon): 指MPC向前看多少步。比如 $N_p=20$，$T_s=0.1$秒，就代表MPC会预测未来2秒钟车辆的轨迹。
   • 控制时域 $N_c$ (Control Horizon): 指MPC在一个优化周期内，实际计算并优化的未来控制输入的数量。通常 $N_c\le N_p$。在 $N_c$ 步之后，控制输入通常被假定为保持不变或按某种规律延续。

2. 优化决策 (Optimization): 在预测出的众多未来可能性中，哪一个是“最好”的呢？这就需要一个“评价标准”，在MPC中，这个标准就是代价函数 (Cost Function，或称目标函数 Objective Function)。MPC会努力寻找一个控制序列，使得这个代价函数的值最小。同时，它还要确保所有的控制行为都符合实际的物理限制和安全要求，这些就是约束条件 (Constraints)。这个寻找最优解的过程，本质上是在求解一个带约束的优化问题。

3. 滚动执行 (Receding Horizon Execution): 优化完成后，MPC会得到一串“最优”的未来控制指令 $u^{\ast }(k|k),u^{\ast }(k+1|k),\dots ,u^{\ast }(k+N_c-1|k)$。但它并不会把这些指令全部执行。而是只执行第一个控制指令 $u^{\ast }(k|k)$。然后，在下一个控制时刻 $k+1$ 到来时，系统会获得新的测量值（车辆实际的状态），然后MPC会重复上述的预测和优化过程，重新计算下一串最优控制指令，并再次只执行第一个。这个过程不断“滚动”向前，因此也称为滚动时域控制 (Receding Horizon Control, RHC)。

这个“预测-优化-执行第一个-再重复”的循环，就是MPC工作的核心机制。它赋予了MPC强大的适应性和鲁棒性。

代价函数：MPC的“导航地图”与“评价标准”

代价函数 $J$ 是MPC的灵魂，它告诉MPC什么是“好”的控制，什么是“坏”的控制。设计一个好的代价函数，是MPC成功的关键。

对于ACC系统，我们期望达到的控制目标可以概括为：

1. 准确性 (Accuracy):
   • 车速跟踪： 当没有前车或前车很远时，本车速度 $v_{ego}$ 应尽可能接近驾驶员设定的期望速度 $v_{set}$。
   • 距离保持： 当有前车时，本车与前车的相对距离 $d_{rel}$ 应尽可能接近计算出的安全距离 $d_{safe}$ (回顾Day 1，$d_{safe}=d_0+T_{hw}\cdot v_{ego}$)。
2. 舒适性 (Comfort):
   • 避免过大的加速度或减速度，即控制输入 $u(k)=a_{ego}(k)$ 不宜过大。
   • 避免加速度的剧烈变化（即过大的“冲击度”或“Jerk”），即 $u(k)-u(k-1)$ 不宜过大。
3. 经济性 (Economy) (可选):
   • 尽量减少不必要的加速和减速，以节省燃油或电能。这通常与舒适性目标部分重合。

MPC通常采用二次型代价函数 (Quadratic Cost Function)，因为它形式简单，易于求解（尤其是当系统模型是线性的，约束也是线性的情况下，优化问题会变成一个凸的二次规划QP问题，有高效的解法）。

一个典型的MPC代价函数可以写成如下形式：

$J={\sum }_{i=1}^{N_p}{\Vert {\mathbf{y}}_{pred}(k+i|k)-{\mathbf{y}}_{ref}(k+i|k)\Vert }_{\mathbf{Q}}^2+{\sum }_{j=0}^{N_c-1}{\Vert \Delta u(k+j|k)\Vert }_{\mathbf{R}}^2+{\sum }_{j=0}^{N_c-1}{\Vert u(k+j|k)\Vert }_{\mathbf{S}}^2$

是不是看起来有点吓人？别慌，我们把它拆开来看：

• $k$: 当前的离散时间步。
• $i$: 在预测时域 $N_p$ 内的未来时间步索引，从1到 $N_p$。
• $j$: 在控制时域 $N_c$ 内的未来控制步索引，从0到 $N_c-1$。
• ${\mathbf{y}}_{pred}(k+i|k)$: 在当前时刻 $k$ 预测的未来第 $k+i$ 时刻的系统输出。对于ACC，它可能包含预测的相对距离 $d_{rel}(k+i|k)$ 和本车速度 $v_{ego}(k+i|k)$。
• ${\mathbf{y}}_{ref}(k+i|k)$: 我们期望系统在未来第 $k+i$ 时刻达到的参考输出值。
  • 在速度控制模式下，参考速度是 $v_{set}$，参考距离可以设为一个很大的值或者其权重为0。
  • 在距离控制模式下，参考距离是 $d_{safe}(k+i|k)$（注意 $d_{safe}$ 可能也依赖于预测的本车速度 $v_{ego}(k+i|k)$，这会使问题更复杂，有时会用当前时刻计算的 $d_{safe}$ 作为未来一段时间的参考，或进行迭代逼近），参考速度可以是前车速度 $v_{lead}(k+i|k)$ 或 $v_{set}$（取较小者）。
• $u(k+j|k)$: 在当前时刻 $k$ 优化的未来第 $k+j$ 时刻的控制输入（即本车期望加速度 $a_{ego}(k+j|k)$）。
• $\Delta u(k+j|k)$: 控制输入的增量，即 $u(k+j|k)-u(k+j-1|k)$。它代表了加速度的变化率（与Jerk相关）。我们通常希望这个增量小一些，以保证舒适性。
• ${\Vert \mathbf{v}\Vert }_{\mathbf{M}}^2$: 这是一个带权重的二次型范数，表示 ${\mathbf{v}}^T\mathbf{Mv}$。$\mathbf{M}$ 是一个半正定的权重矩阵。
  • $\mathbf{Q}$: 状态/输出权重矩阵。它衡量我们对跟踪误差的重视程度。$\mathbf{Q}$ 中对应某个输出（如 $d_{rel}$）的对角线元素越大，MPC就会越努力地减小该输出的跟踪误差。
  • $\mathbf{R}$: 控制增量权重矩阵。它衡量我们对控制输入变化剧烈程度的惩罚。$\mathbf{R}$ 的元素越大，MPC计算出的控制输入变化就越平缓（即加速度变化越小，越舒适）。
  • $\mathbf{S}$: 控制量权重矩阵 (可选，有时包含在R中或不显式列出)。它衡量我们对控制输入大小本身的惩罚。$\mathbf{S}$ 越大，MPC倾向于使用更小的控制输入（更节能，但不一定能快速响应）。

代价函数的通俗理解：

$J=(\text{未来一段时间内，预测输出与期望输出的差距有多大？})+(\text{未来的控制指令变化是不是太剧烈了？})+(\text{未来的控制指令本身是不是太大了？})$

MPC的目标就是找到一串未来的控制指令 $u(k|k),\dots ,u(k+N_c-1|k)$，使得这个总的“代价” $J$ 最小。

权重矩阵 $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$ 的奥秘——调校的艺术

$\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$ （以及 $\mathbf{S}$）是我们与MPC沟通的“语言”。通过调整这些权重，我们可以告诉MPC我们更看重什么：

• 增大 $\mathbf{Q}$ 中对应 $d_{rel}$ 误差的权重： MPC会更积极地保持安全距离，即使这意味着加速度变化可能大一些。
• 增大 $\mathbf{Q}$ 中对应 $v_{ego}$ 误差的权重： MPC会更努力地跟踪设定速度。
• 增大 $\mathbf{R}$ 的权重： MPC会倾向于输出更平滑、变化更小的加速度指令，驾驶体验更舒适，但可能响应速度会慢一些。
• 增大 $\mathbf{S}$ 的权重： MPC会尽量使用较小的加速度值，可能更节能，但跟踪性能可能会下降。

这些权重的选取是一个权衡 (Trade-off) 的过程，也是MPC参数调优中最核心、最具挑战性的部分之一。通常需要通过大量的仿真和实车测试，反复迭代，才能找到一组在不同工况下都表现良好的权重。这很像给音响调均衡器，不同的参数组合会带来不同的“听感”（驾驶体验）。

约束条件：MPC的“行为准则”

现实世界中，汽车的性能不是无限的，道路交通也有规则。MPC的一大优势就是能够直接、显式地处理这些约束条件 (Constraints)。

对于ACC系统，常见的约束有：

1. 控制输入约束 (Input Constraints):

   • 加速度限制： 车辆的发动机/电机提供的驱动加速度和刹车系统提供的制动加速度都是有限的。
     $a_{min}\le u(k+j|k)\le a_{max}$
     例如，$a_{min}$ 可能是 -5 m/s² (最大刹车)，$a_{max}$ 可能是 2 m/s² (舒适的加速上限)。
   • 加速度变化率限制 (Slew Rate / Jerk Constraints): 为了舒适性，加速度的变化不宜过快。
     $\Delta u_{min}\le u(k+j|k)-u(k+j-1|k)\le \Delta u_{max}$
     例如，一个采样周期内加速度变化不超过 0.5 m/s³。

2. 状态/输出约束 (State/Output Constraints):

   • 速度限制： 本车速度不能超过道路限速，也不能低于某个最低速度（如果有的话），并且不能超过驾驶员设定的 $v_{set}$。
     $v_{ego\_min}\le v_{ego}(k+i|k)\le v_{ego\_max}$
   • 最小安全距离： 即使在优化过程中，预测的相对距离 $d_{rel}$ 也不能小于某个绝对的最小安全距离 $d_{abs\_min}$（这比通过代价函数去“软”逼近 $d_{safe}$ 更严格）。
     $d_{rel}(k+i|k)\ge d_{abs\_min}$
     这通常是一个硬约束 (Hard Constraint)，必须严格遵守。
   • 有些输出约束也可以是软约束 (Soft Constraint)，即允许在一定程度上违反，但在代价函数中给予巨大的惩罚。这可以增加优化问题的求解鲁棒性，避免因为过于严格的约束导致找不到可行解。

MPC在求解优化问题时，会确保找到的控制序列 $u^{\ast }(k|k),\dots ,u^{\ast }(k+N_c-1|k)$ 所产生的预测状态和输出都满足这些约束条件。这就好比给MPC划定了一个“安全操作区域”，它只能在这个区域内寻找最优解。

优化求解：寻找代价最小的控制序列

有了代价函数 $J$ 和一系列约束条件，MPC的下一步工作就是求解这个带约束的优化问题：

Minimize $J(U)$
Subject to:

1. System Dynamics: $\mathbf{x}(k+i+1|k)={\mathbf{A}}_d\mathbf{x}(k+i|k)+{\mathbf{B}}_{d}u(k+i|k)+{\mathbf{B}}_{wd}w(k+i|k)$ (for $i=0\dots N_p-1$)
2. Input Constraints: $a_{min}\le u(k+j|k)\le a_{max}$ (for $j=0\dots N_c-1$)
3. Input Rate Constraints: $\Delta u_{min}\le \Delta u(k+j|k)\le \Delta u_{max}$ (for $j=0\dots N_c-1$)
4. State/Output Constraints: e.g., $v_{ego\_min}\le v_{ego}(k+i|k)\le v_{ego\_max}$ (for $i=1\dots N_p$)
   … (and other constraints)

其中 $U=[u(k|k{)}^T,u(k+1|k{)}^T,\dots ,u(k+N_c-1|k{)}^T{]}^T$ 是待优化的控制序列。

如果系统模型是线性的（我们Day 2建立的模型就是），代价函数是二次的，约束条件是线性的（我们上面列举的都是），那么这个优化问题就是一个二次规划 (Quadratic Programming, QP) 问题。QP问题是一类研究得比较成熟的优化问题，有很多现成的、高效的QP求解器 (QP Solvers) 可以使用，例如 OSQP, qpOASES, MOSEK, Gurobi 等。这些求解器能够在毫秒级的时间内给出QP问题的解，满足车载实时性的要求。

求解器会输出一个最优的控制序列 $U^{\ast }$，也就是 $u^{\ast }(k|k),u^{\ast }(k+1|k),\dots ,u^{\ast }(k+N_c-1|k)$。

滚动时域控制：不断向前看，稳健应对变化

正如前面提到的，MPC并不会把计算出来的整个 $N_c$ 步的控制序列都用掉。它只采纳序列中的第一个控制动作 $u^{\ast }(k|k)$ （即 $a_{ego}(k)$），并将其施加到车辆上。

然后，在下一个采样时刻 $k+1$：

1. 系统通过传感器测量得到新的实际状态 $\mathbf{x}(k+1)$ (比如新的 $v_{ego}$, $d_{rel}$, $v_{lead}$)。
2. 预测时域和控制时域都向前“滚动”一个时间步。
3. MPC以新的状态 $\mathbf{x}(k+1)$ 为起点，重新进行预测、代价函数评估和约束检查，再次求解QP优化问题，得到新的最优控制序列 $u^{\ast }(k+1|k+1),\dots ,u^{\ast }(k+N_c|k+1)$。
4. 再次只应用第一个控制动作 $u^{\ast }(k+1|k+1)$。
5. 如此循环往复。

为什么采用滚动时域策略？

• 处理扰动： 真实世界充满不确定性。前车可能突然加速减速（$w(k)$ 的变化），路面可能突然变化，我们的模型也可能不是100%精确。通过在每个时刻都根据最新的测量值重新优化，MPC能够及时地对这些扰动和模型误差做出反应，保持控制的鲁棒性。
• 反馈校正： 它本质上是一种闭环反馈控制。虽然MPC在“开环”地预测未来，但由于不断地用实际测量值来校正预测的起点，使得整个系统是闭环稳定的。
• 计算可行性： 如果我们试图一次性优化一个非常非常长的未来控制序列，计算量会大到无法接受。滚动时域将大问题分解为一系列在有限时域内求解的小问题。

MPC参数配置：调校出最佳性能的关键“旋钮”

一个MPC控制器的性能，很大程度上取决于其参数的选择和调校。这些参数就像汽车上的各种调节旋钮，需要精心设置，才能让ACC系统运行得既安全又舒适。

主要的参数包括：

1. 采样时间 $T_s$ (Sampling Time):

   • 影响： 我们在Day 2已经讨论过。它决定了MPC的反应速度和计算频率。
   • 选择： 对于ACC，通常在 $0.05s\sim 0.2s$ (50ms ~ 200ms) 之间。需要平衡车辆动态响应、传感器刷新率和车载处理器的计算能力。

2. 预测时域 $N_p$ (Prediction Horizon):

   • 影响：
     • 优点： 较长的 $N_p$ 能让MPC“看得更远”，更好地预见未来的情况，从而做出更平滑、更具前瞻性的控制决策。例如，如果能预见到前方较远处有一个慢车，就可以提前、缓慢地开始减速。
     • 缺点： 极大地增加QP问题的规模和计算复杂度（变量数量和约束数量都随 $N_p$ 增长）。而且，对模型精度的要求也更高，因为远期预测的误差会累积放大。
   • 选择： 通常需要覆盖被控对象的主要动态响应时间，或者说，足够长到能看到一个控制动作的显著效果。对于ACC，几秒钟的预测时域（例如 $N_p\cdot T_s=2\sim 5$ 秒）是比较常见的。

3. 控制时域 $N_c$ (Control Horizon):

   • 影响：
     • $N_c$ 是实际优化的控制输入变量的个数。通常 $N_c\le N_p$。在 $N_c$ 之后的控制输入，通常假定为 $u(k+N_c-1|k)$ 或某个固定值。
     • 优点： 较小的 $N_c$ (比如1到5) 可以显著减少优化变量的数量，从而大大降低计算时间，同时仍然能获得不错的控制性能。
     • 缺点： 如果 $N_c$ 太小，可能会限制控制器的灵活性，使其难以应对一些需要复杂控制序列的情况。
   • 选择： 很多情况下，$N_c$ 会远小于 $N_p$。甚至 $N_c=1$ 也是可行的，但可能会使控制动作有些“短视”。$N_c$ 的选择也是一个权衡计算量和控制性能的过程。

4. 权重矩阵 $\mathbf{Q}$ (State/Output Weights) 和 $\mathbf{R}$ (Control Input Weights):

   • 影响： 正如前面详细讨论的，它们决定了MPC在不同控制目标（如跟踪精度、舒适性、经济性）之间的平衡。
   • $\mathbf{Q}$ 矩阵： 通常是对角矩阵。对角线上的元素 $q_{ii}$ 越大，表示对应的第 $i$ 个状态/输出的跟踪误差越不被容忍。
     • 例如，在ACC中，$\mathbf{Q}=\text{diag}(q_{v\_ego},q_{d\_rel},q_{v\_lead})$ (如果这三个都是状态变量，并且都需要被加权)。如果 $q_{d\_rel}$ 远大于 $q_{v\_ego}$，则MPC会优先保证安全距离，即使速度跟踪稍差。
   • $\mathbf{R}$ 矩阵： 通常也是对角矩阵（如果控制输入是向量的话，ACC中 $u$ 通常是标量 $a_{ego}$，所以R是标量）。$r_{jj}$ 越大，表示对应的第 $j$ 个控制输入的增量（或本身）的惩罚越大，控制会越平缓。
   • 选择与调校：
     • Bryson法则 (Bryson’s Rule) 作为起点： 一种经验性的方法是将权重设置为允许的最大误差（或控制量）的平方的倒数。例如，如果速度误差允许在 $\pm 2\text{ m/s}$，则 $q_{v\_ego}\approx 1/(2^2)=0.25$。如果加速度变化允许在 $\pm 0.5{\text{ m/s}}^2/\text{sample}$，则 $r_{\Delta a}\approx 1/(0.5^2)=4$。但这只是一个非常粗略的起点。
     • 归一化： 将不同物理量的误差归一化到相似的数值范围，再进行加权，可能更容易调整。
     • 迭代试凑： 大量的仿真测试是必不可少的。从一组初始值开始，观察系统的响应（超调、响应速度、平稳性、约束满足情况），然后逐步调整 $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$ 的相对大小，直到获得满意的性能。这是一个经验和技巧积累的过程。
     • 先调 $\mathbf{Q}$，再调 $\mathbf{R}$。或者先固定 $\mathbf{R}$ 为一个较小的值（比如1），然后调整 $\mathbf{Q}$ 来满足主要的跟踪性能，最后再调整 $\mathbf{R}$ 来改善平顺性。

5. 约束的边界值：

   • $a_{min},a_{max},\Delta u_{min},\Delta u_{max},v_{ego\_min},v_{ego\_max},d_{abs\_min}$ 等。
   • 影响： 直接决定了MPC的操作空间。
   • 选择：
     • $a_{min},a_{max}$ 通常由车辆的物理性能决定（如最大驱动力、最大制动力），并考虑一定的安全裕量和舒适性。例如，虽然车能做到-9m/s²的急刹，但ACC一般不会用到这么大的值，可能会限制在-3m/s² 到 -5m/s²。
     • $\Delta u$ 的限制主要为了舒适性。
     • 速度限制由法规、设定速度和安全考虑决定。
     • $d_{abs\_min}$ 是绝对的红线，比如一个车身的长度。

参数调校的一般流程：

1. 明确控制目标和性能指标： 你希望ACC系统达到什么样的响应速度？多大的超调可以接受？舒适性要求如何？
2. 根据经验或规则选择初始参数： $T_s,N_p,N_c$ 可以根据系统动态和计算能力初步选定。$\mathbf{Q},\mathbf{R}$ 可以用Bryson法则或简单的单位矩阵开始。约束根据物理限制设定。
3. 仿真测试： 在各种典型工况下（如跟车、切入、前车急刹、畅通路段巡航）进行仿真。
4. 分析结果，调整参数：
   • 如果响应太慢：尝试减小 $\mathbf{R}$，或增大 $\mathbf{Q}$ 中对应误差项的权重，或适当增大 $N_c$。
   • 如果超调太大或震荡：尝试增大 $\mathbf{R}$，或减小 $\mathbf{Q}$，或检查 $N_p$ 是否足够长。
   • 如果控制输入变化太剧烈（不舒服）：增大 $\mathbf{R}$ (惩罚 $\Delta u$)。
   • 如果频繁触碰约束：检查约束设置是否合理，或者模型是否准确。
   • 如果计算时间太长：减小 $N_p$ 或 $N_c$，或增大 $T_s$ (但这会牺牲性能)。
5. 迭代： 重复步骤3和4，直到获得满意的综合性能。
6. 实车测试与微调： 仿真毕竟是理想化的，最终参数还需要在实车上进行验证和细致调整。

这是一个充满挑战但也非常有趣的过程，就像一位调音师在精心雕琢一件乐器，使其发出最美妙的声音。

ACC控制模式切换与MPC的配合

还记得Day 1我们讲的ACC的两种主要工作模式吗？速度控制和距离控制。MPC如何适应这两种模式呢？答案是调整代价函数中的参考值 ${\mathbf{y}}_{ref}$ 和权重 $\mathbf{Q}$。

• 速度控制模式 (无前车或前车远/快):

  • 目标：$v_{ego}\to v_{set}$。
  • ${\mathbf{y}}_{ref}$ 中的速度参考设为 $v_{set}$。
  • ${\mathbf{y}}_{ref}$ 中的距离参考可以设为一个非常大且无关的值，或者 $\mathbf{Q}$ 矩阵中与距离误差对应的权重设为0或一个很小的值。
  • 此时，代价函数主要惩罚 $(v_{ego}-v_{set}{)}^2$。

• 距离控制模式 (有前车且需要跟驰):

  • 目标：$d_{rel}\to d_{safe}$，同时 $v_{ego}\approx v_{lead}$ (但不超过 $v_{set}$)。
  • ${\mathbf{y}}_{ref}$ 中的距离参考设为 $d_{safe}(k+i|k)=d_0+T_{hw}\cdot v_{ego}(k+i|k)$ (或其近似值)。
  • ${\mathbf{y}}_{ref}$ 中的速度参考可以设为预测的前车速度 $v_{lead}(k+i|k)$，或者 $min(v_{lead}(k+i|k),v_{set})$。
  • 此时，$\mathbf{Q}$ 矩阵中与距离误差 $d_{rel}$ 和速度误差 $v_{ego}$ 相关的权重都会比较大，MPC会努力同时满足这两个目标。

通过在每个控制周期根据当前是否有有效跟车对象，动态地调整MPC代价函数中的参考信号和权重，就可以实现ACC在不同模式下的平滑切换和精确控制。

今日总结与明日展望

今天，我们深入探索了MPC控制器设计的三大核心要素：代价函数、约束条件和优化求解，以及关键的滚动时域控制策略。我们还详细讨论了MPC中最重要的参数——预测时域 $N_p$、控制时域 $N_c$、采样时间 $T_s$ 以及权重矩阵 $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$——它们是如何影响控制器性能，以及如何进行初步的配置和调校。

可以说，我们已经掌握了设计一个MPC控制器的基本蓝图。我们知道它如何设定目标（代价函数），如何遵守规则（约束），如何做出决策（优化求解），以及如何不断适应变化（滚动时域）。

这个“大脑”已经初具雏形，但它是否真的好用，还需要实践的检验。在明天的博客中，我们将进入MPC的仿真与参数精调环节。我们会看到如何将今天设计的MPC控制器在一个模拟环境中运行起来，观察它的实际表现，并通过系统的方法来优化那些关键的参数，让我们的ACC系统真正达到“聪明又稳重”的境界。

习题

1. 简答题：请用你自己的话解释MPC中的“预测时域 ($N_p$)”和“控制时域 ($N_c$)”分别是什么含义？为什么通常 $N_c\le N_p$？

2. 判断题：在MPC的代价函数 $J=\sum \Vert {\mathbf{y}}_{pred}-{\mathbf{y}}_{ref}{\Vert }_{\mathbf{Q}}^2+\sum \Vert \Delta u{\Vert }_{\mathbf{R}}^2$ 中，如果我希望车辆的加速度变化更平缓，驾驶感觉更舒适，我应该增大权重矩阵 $\mathbf{Q}$ 还是 $\mathbf{R}$？

3. 选择题：以下哪项不是模型预测控制（MPC）能够直接处理的约束类型？
A. 控制输入的大小限制 (如最大加速度)
B. 控制输入的变化率限制 (如最大Jerk)
C. 系统状态的限制 (如最大车速)
D. 未建模的外部随机扰动的大小

4. 思考题：假设你在为一个ACC系统调试MPC参数。你发现车辆在跟车时，与前车的距离总是比设定的安全距离 $d_{safe}$ 要小一点，而且减速时有点突兀。你会考虑调整哪些MPC参数，以及如何调整？请说明理由。

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答案：

1. 答案：

   • 预测时域 ($N_p$)： 指MPC在做当前决策时，会向前预测未来多少个时间步长的系统行为。它代表了MPC“看得有多远”。例如，如果采样时间是0.1秒，$N_p=20$，那么MPC会预测未来2秒内系统的状态。
   • 控制时域 ($N_c$)： 指MPC在一个优化周期内，实际计算并优化的未来控制输入的数量。它代表了MPC一次“规划多少步控制动作”。
   • 为什么通常 $N_c\le N_p$：
     1. 计算量： 优化变量的数量直接由 $N_c$ 决定。较小的 $N_c$ 可以显著减少优化问题的复杂度，加快求解速度。如果 $N_c=N_p$，则优化变量会很多。
     2. 性能与鲁棒性： 实践表明，很多情况下，不需要对整个预测时域内的所有控制输入都进行精细优化。只优化前面少数几步的控制输入（即较小的 $N_c$），然后在 $N_c$ 之后假设控制输入保持不变或按简单规律延续，往往也能获得很好的控制效果，并且对模型不确定性的鲁棒性可能更好。因为远期的控制决策对当前影响较小，且依赖于更不可靠的远期预测。
     3. 滚动时域特性： 由于MPC采用滚动时域策略，只执行第一个控制输入，然后在下一时刻重新优化，所以并不强求一次性计算出非常长期的精确控制序列。

2. 答案：增大权重矩阵 $\mathbf{R}$。
   $\mathbf{R}$ 是用来惩罚控制输入增量 $\Delta u$ (即加速度的变化) 的。增大 $\mathbf{R}$ 会使得MPC在优化时更倾向于选择那些加速度变化较小的控制序列，从而使驾驶感觉更平顺、更舒适。$\mathbf{Q}$ 是惩罚状态/输出跟踪误差的。

3. 答案：D. 未建模的外部随机扰动的大小
   MPC通过其滚动时域和反馈校正机制，能够对未建模扰动产生一定的鲁棒性（即在扰动发生后进行补偿），但它不能直接将“未建模的随机扰动的大小”作为优化问题中的一个显式约束来处理，因为这些扰动本质上是不可预测或难以精确量化的。A, B, C 都是MPC可以显式处理的常见约束类型。

4. 答案：

   • 问题1：距离总是比 $d_{safe}$ 小一点（稳态误差或跟踪不准）：

     • 可能原因与调整：
       1. $\mathbf{Q}$ 中对应 $d_{rel}$ 误差的权重 ($q_{d\_rel}$) 可能偏小： 这使得MPC对距离误差的容忍度较高。可以尝试增大 $q_{d\_rel}$，让MPC更重视减小距离跟踪误差。
       2. 模型不准确： 如果车辆模型（特别是与阻力相关的部分）与实际情况偏差较大，可能导致稳态误差。需要回顾和改进Day 2的模型。
       3. $d_{safe}$ 的计算或参考设置： 确保 $d_{safe}$ 的计算是准确的，并且在代价函数中正确地作为 $d_{rel}$ 的参考。如果 $d_{safe}$ 本身依赖于 $v_{ego}$，需要确认这个依赖关系在参考值设定中是否得到妥善处理。
       4. 积分作用缺失（如果适用）： 某些MPC实现中，为了消除稳态误差，可能会引入增量式控制或者在状态中加入积分项。如果当前MPC结构没有这类机制，可能会存在静差。

   • 问题2：减速时有点突兀（舒适性差）：

     • 可能原因与调整：
       1. $\mathbf{R}$ 中对应控制增量 $\Delta u$ 的权重 ($r_{\Delta u}$) 可能偏小： 这使得MPC允许较大的加速度变化。可以尝试增大 $r_{\Delta u}$，以惩罚剧烈的加速度变化，使减速过程更平缓。
       2. 控制输入变化率约束 ($\Delta u_{max}$) 设置过大： 检查约束 $\Delta u_{min}\le u(k+j|k)-u(k+j-1|k)\le \Delta u_{max}$ 是否设置得过于宽松。可以尝试减小 $\Delta u_{max}$ 的绝对值（对于减速，是负的 $\Delta u$）。
       3. 预测时域 $N_p$ 可能偏短： 如果 $N_p$ 太短，MPC可能“看得不够远”，导致在需要减速时反应比较“急促”。可以尝试适当增大 $N_p$，让MPC有更长的规划窗口。
       4. $\mathbf{Q}$ 中 $q_{d\_rel}$ 权重过大，而 $\mathbf{R}$ 权重过小： 过于强调距离跟踪的精确性，可能会牺牲舒适性。需要在两者之间找到平衡。

   调整策略的先后顺序建议：

   1. 首先尝试调整权重 $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$。比如，先稍微增大 $q_{d\_rel}$ 看看能否改善距离跟踪，然后增大 $r_{\Delta u}$ 看看能否让减速平缓。这两个是影响性能最直接的参数。
   2. 如果调整权重效果不佳，再考虑检查和调整约束值，或者审视 $N_p$ 是否合适。
   3. 最后，如果问题依然存在，可能需要回到模型层面，检查模型精度。

   在调整时，最好一次只改一个或一类参数，观察效果，避免多个参数同时大幅度修改导致难以判断是哪个参数起了作用。