数学笔记一：标量、向量和矩阵基本概念辨析

一、标量

标量（Scalar） 是一种仅用数值大小（即 “量值”）就能完全描述的物理量或数学对象，它不具有方向属性。

例如在实数领域的正数、负数。

在物理学领域的多少斤、多少公斤、水温多少度、气温多少度都是标量。

因此标量的无方向并非无意义的，它实际上侧重于强调数量上的多少。

二、矢量

矢量，也称向量（Vector） 是一种既具有大小又具有方向的量，它的完整描述必须同时包含这两个要素。

例如：在生活中的向东100KM/H，垂直向下的力“5 牛顿。在力学中常见的有位移（s），速度（v）、加速度（a）、力（F），电磁学中电场强度（E）、磁感应强度（B）、电流密度（j​）。

矢量常用带箭头的字母（如 v）或黑体字母（如 F）表示，其大小称为模长（记作 ∣v∣ 或 v），方向则由空间中的指向确定。

三、矩阵

矩阵（Matrix） 是一种由数排列成的矩形阵列，用于系统地表示和处理线性方程组、变换和数据。

例如，生活中的Excel表格，编程关系型数据库中一张张实体表，都可看着矩阵。

矩阵是由 m×n 个数排成的 m 行（Row）n 列（Column）的矩形表格，记作 A 或 [aij​]，其中 aij​ 表示第 i 行第 j 列的元素。

四、要点辨析

行向量：数字排成一行，用括号括起来。例如小明语数外成绩（96，91，99）

列向量：把数字排成一列，用括号括起来。例如二维平面上的点坐标(x,y)，写成列向量就是 (x，y​)。

上面两个用二维表格来形容，行向量适合按 “顺序” 记录一排数据，列向量适合按 “类别” 堆叠信息。

注意：编程中的数据一般用 [1, 2, 3]，也就是中括号括起来，而向量一般用小括号括起来。

根据以上辨析，可以看出，矩阵可以看着是由若干个行向量或若干个列向量构成的集合。

在学校教室里的班级看着是一个矩阵的话，那么可理解为若干排同学或若干列同学构成了这个班级。

五、两种视角的意义

行向量视角：适合看 “每行的独立信息”，比如矩阵的每一行代表一个样本（如每个学生的各科成绩）；

列向量视角：适合看 “每列的特征”，比如矩阵的每一列代表一个科目，所有列向量组成该科目的成绩集合。