【机器学习基础】机器学习入门核心算法：逻辑回归（Logistic Regression）

一、算法逻辑

1.1 基本概念

逻辑回归（Logistic Regression）是一种广义线性模型，主要用于解决二分类问题（也可扩展至多分类）。其核心思想是通过将线性回归的预测值映射到[0,1]区间，得到样本属于某个类别的概率。

与线性回归的本质区别：

• 线性回归：
  $$y=w^{T}x+b$$
  （直接预测连续值）
• 逻辑回归：
  $$p=\sigma (w^{T}x+b)$$
  （预测概率值）

1.2 Sigmoid函数

使用Sigmoid函数实现概率映射：
$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

特性分析：

1. 值域：$$(0,1)$$，符合概率定义
2. 导数易计算：
   $${\sigma }^{\prime }(z)=\sigma (z)(1-\sigma (z))$$
3. 输出对称性：
   $$1-\sigma (z)=\sigma (-z)$$

1.3 决策边界

假设取阈值为0.5时的决策规则：
$$\hat{y}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }\sigma (w^{T}x)\ge 0.5\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

对应的线性决策边界：
$$w^{T}x=0$$

二、算法原理与数学推导

2.1 概率建模

正类概率：
$$P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}$$

负类概率：
$$P(y=0|x)=1-P(y=1|x)=\frac{e^{-(w^{T}x+b)}}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}$$

2.2 损失函数推导

极大似然估计：
$$L(w)=\prod _{i=1}^{n}P(y_i|x_i;w)=\prod _{i=1}^n{\hat{y}}_i^{y_i}(1-{\hat{y}}_i{)}^{1-y_i}$$

对数似然函数：
$$\ell (w)=\sum _{i=1}^n\left[y_i\ln {\hat{y}}_i+(1-y_i)\ln (1-{\hat{y}}_i)\right]$$

交叉熵损失函数：
$$J(w)=-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left[y_i\ln \sigma (w^T{x}_i)+(1-y_i)\ln (1-\sigma (w^T{x}_i))\right]$$

---

2.3 梯度下降优化

梯度计算：
$$\frac{\partial J}{\partial w_j}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\sigma (w^T{x}_i)-y_i)x_{ij}$$

参数更新公式：
$$w_j:=w_j-\alpha \frac{\partial J}{\partial w_j}$$

2.4 正则化处理

正则化类型：

类型	公式	特点
L1	$$J(w)+=\lambda |w{|}_1$$	产生稀疏解
L2	$$J(w)+=\frac{\lambda }{2}|w{|}_2^2$$	平滑权重衰减

三、模型评估

3.1 常用评估指标

指标	公式	说明
准确率	$$\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$$	总体预测正确率
精确率	$$\frac{TP}{TP+FP}$$	预测为正类的准确率
召回率	$$\frac{TP}{TP+FN}$$	正类样本的覆盖率
F1 Score	$$2\cdot \frac{Precision\cdot Recall}{Precision+Recall}$$	精确率与召回率调和平均

3.2 ROC曲线与AUC

ROC曲线绘制步骤：

1. 调整分类阈值，计算不同阈值下的TPR和FPR：
   $$TPR=\frac{TP}{TP+FN},FPR=\frac{FP}{FP+TN}$$
2. 以FPR为横轴，TPR为纵轴绘制曲线

AUC值意义：

• AUC=0.5：随机猜测
• AUC=1.0：完美分类器

四、应用案例

4.1 金融风控：贷款违约预测

数据处理流程：

# Python代码示例
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 特征标准化
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)# 模型训练
model = LogisticRegression(penalty='l1', solver='liblinear')
model.fit(X_train, y_train)

模型输出结果：

• AUC: 0.85
• KS值: 0.42

---

4.2 医疗诊断：乳腺癌检测

特征重要性分析：

特征	权重	显著性(p值)
细胞核半径	2.34	<0.001
纹理均匀度	-1.56	0.023
边缘平滑度	0.89	0.142

---

五、经典面试题解析

问题1：为什么逻辑回归用交叉熵损失而不用MSE？

深度解析：

1. 损失函数曲面特性：

   • MSE损失在逻辑回归中非凸，存在多个局部最小值
   • 交叉熵损失是凸函数，保证全局最优解

2. 梯度更新效率：
   $$\frac{\partial J_{MSE}}{\partial w}=(\hat{y}-y)\hat{y}(1-\hat{y})x$$

   • 当预测值接近0或1时，梯度趋于0，导致更新缓慢
   • 交叉熵梯度直接为 $$(\hat{y}-y)x$$，更新速度稳定

问题2：逻辑回归如何处理多分类？

两种实现方式对比：

方法	公式	优缺点
One-vs-Rest (OvR)	训练K个二分类器	简单但可能类别不平衡
Softmax回归	$$P(y=k)=\frac{e^{w_k^{T}x}}{\sum e^{w_j^{T}x}}$$	直接建模多分类

六、最佳实践

6.1 特征工程技巧

1. 分箱处理：
   将连续变量离散化，增强模型鲁棒性

   pd.cut(df['age'], bins=5, labels=False)
   

2. 交互特征：
   通过特征组合捕捉非线性关系
   $$x_3=x_1\times x_2$$

6.2 超参数调优

网格搜索示例：

from sklearn.model_selection import GridSearchCVparams = {'C': [0.1, 1, 10], 'penalty': ['l1', 'l2']
}
grid = GridSearchCV(LogisticRegression(), params, cv=5)
grid.fit(X, y)

七、总结与展望

核心优势：

• 输出概率解释性强
• 训练效率高（时间复杂度O(n)）
• 可通过正则化防止过拟合

未来方向：

• 与深度学习结合（如神经网络最后一层使用逻辑回归）
• 在线学习场景下的增量更新