LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目

好的！让我们详细解释 LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目 这道题的思路和解法。

题目： https://leetcode.cn/problems/number-of-sub-arrays-with-odd-sum/description/

题目分析

问题描述：
给定一个整数数组 arr，返回其中和为奇数的子数组的数目。由于答案可能很大，结果需对 10^9 + 7 取余。

示例：
输入：arr = [1, 3, 5]
输出：4
解释：

• 子数组 [1]、[3]、[5] 的和均为奇数。
• 子数组 [1, 3, 5] 的和为 1 + 3 + 5 = 9，也是奇数。

暴力解法（超时）

思路：
枚举所有子数组，计算每个子数组的和并判断奇偶性。

代码：

class Solution {
public:int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {const int MOD = 1e9 + 7;int count = 0;int n = arr.size();for (int i = 0; i < n; i++) {int sum = 0;for (int j = i; j < n; j++) {sum += arr[j];if (sum % 2 == 1) {count = (count + 1) % MOD;}}}return count;}
};

复杂度：

• 时间复杂度：O(n²)
• 空间复杂度：O(1)

优化解法：前缀和 + 奇偶计数

核心思路：

1. 前缀和的奇偶性：子数组 [i, j] 的和为 prefix[j+1] - prefix[i]，其中 prefix[k] 表示前 k 个元素的和。
2. 奇偶性规律：若 prefix[j+1] 和 prefix[i] 的奇偶性不同，则子数组和为奇数。
3. 哈希表统计：动态维护前缀和为奇数和偶数的次数，遍历数组时累加符合条件的子数组数目。

代码：

class Solution {
public:int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {const int MOD = 1e9 + 7;int count = 0;int prefix = 0;      // 当前前缀和int odd = 0;         // 前缀和为奇数的次数int even = 1;        // 前缀和为偶数的次数（初始包含前缀和为0的情况）for (int num : arr) {prefix += num;if (prefix % 2 == 0) {// 当前前缀和为偶数，加上之前前缀和为奇数的次数count = (count + odd) % MOD;even++;} else {// 当前前缀和为奇数，加上之前前缀和为偶数的次数count = (count + even) % MOD;odd++;}}return count;}
};

复杂度：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

详细解释

1. 前缀和的奇偶性：
   对于子数组 [i, j]，其和为 prefix[j+1] - prefix[i]。

   • 若 prefix[j+1] 为偶数，prefix[i] 为奇数，则和为奇数。
   • 若 prefix[j+1] 为奇数，prefix[i] 为偶数，则和为奇数。

2. 动态维护奇偶次数：

   • odd：记录遍历到当前位置时，前缀和为奇数的次数。
   • even：记录遍历到当前位置时，前缀和为偶数的次数。
   • 初始值：even = 1，因为空数组的前缀和为 0（偶数）。

3. 累加结果：

   • 若当前前缀和为偶数，则它可以与之前所有奇数前缀和形成有效子数组，累加 odd。
   • 若当前前缀和为奇数，则它可以与之前所有偶数前缀和形成有效子数组，累加 even。

示例验证

输入：arr = [1, 3, 5]
步骤如下：

1. 初始状态：prefix = 0，odd = 0，even = 1，count = 0。
2. 处理 1：prefix = 1（奇数），count += even = 1，odd = 1，even = 1。
3. 处理 3：prefix = 4（偶数），count += odd = 1 + 1 = 2，odd = 1，even = 2。
4. 处理 5：prefix = 9（奇数），count += even = 2 + 2 = 4，odd = 2，even = 2。

最终结果：4，与预期一致。

总结

通过前缀和的奇偶性分析和动态计数，我们将时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n)，空间复杂度为 O(1)。这种方法适用于所有类似的“子数组和满足某种奇偶性条件”的问题，核心在于利用前缀和的奇偶性快速查找配对。