理解频域滤波

1 频域滤波基础

    对一幅数字图像，基本的频率滤波操作包括：

    1）将图像变换到频率域；

    2）根据需要修改频率域数值；

    3）反变换到图像域。

    使用公式表达为 

，

    H(u,v) 为滤波器（滤波传递函数），F(u,v) 为图像函数的傅里叶变换。

    在将图像变换到频率域之前，对其中心化处理可使变换后结果更利于观察与分析，因此，乘以 

 以实现中心化。

    在反变换到图像域后，得到的图像是 

，将其乘以 

 使图像平移还原，因此，乘以 

 还原平移。

    在对数字图像进行频移滤波时，需要关注卷积缠绕和振铃现象，这是在设计滤波函数时需要尽力避免的。

    1）卷积缠绕

    给定非周期信号，对其进行离散傅里叶变换或者反变换后得到周期信号，而周期信号卷积操作可能产生缠绕。

    卷积操作是对两个信号滑动乘积进行累加，当累加区间大于任意信号周期，就可能对一个信号周期外的值进行重复累加。

    解决卷积缠绕的方法就是在傅里叶变换（或反变换前）进行0填充处理，0填充使得信号周期不小于卷积区间，从而避免了卷积缠绕。

    2）振铃

    使用0填充可以避免卷积缠绕，但可能产生振铃现象。

    公式 

 使用频域乘积进行滤波处理，其等价操作为空间域的卷积 

。

    当 H(u,v) 为理想低通滤波器（盒函数），其反傅里叶变换 h(x,y) 包含无限震荡频率，无限震荡频率使得在卷积时必然产生振铃现象。

    如果对其进行0填充以避免卷积缠绕，必然对 f(x,y）信号截断， 对截断后的 f(x,y) 变换到频率域，发现之前的盒函数在边缘上出现了震荡，使振铃现象更加严重。

    综上描述，对于理想低通滤波器，振铃现象不可避免，如果0填充以避免卷积缠绕将使得振铃现象更加明显。

    一个折中方案就是对图像进行0填充，但不对滤波器进行填充， 由于图像0填充在一定程度降低了卷积缠绕的影响，

   同时由于图像0填充使得理想低通滤波器引起的振铃现象减弱，从而得到相对理想的结果。

    一个更好的方案是使用高斯低通滤波器，由于高斯函数的傅里叶变换（或反傅里叶变换）均为高斯函数，高斯函数没有震荡周期，故天然没有振铃现象。

    仅需要对图像0填充以避免卷积缠绕即可得到较好的滤波结果。

    通过讨论，可以得到频域滤波的完整步骤如下：

    1）将给定一幅 M*N 的图像 f(x,y) 0填充为 2M*2N 的图像 

；

    2）对 

 乘以 

 平移到中心，并对器进行傅里叶变换 

；

    3）使用滤波器滤波 

；

    4）对滤波后频率进行反傅里叶变换 

，

    其中，real 表示取反傅里叶变换的实部，这是因为数值计算过程中不可避免的误差而导致虚部寄生分量，

    

 抵消到傅里叶变换前的平移到中心操作；

    5）从 

 中取左上 M*N 图像即为滤波后结果。

2 低通滤波器

    1）理想低通滤波器（ILPF）

    理想低通滤波器定义为 

，D(u,v) 为 (u,v) 到中心点距离，

    由于理想低通滤波器为一盒函数，其空域卷积核存在震荡特性，这使得理想低通滤波天然存在振铃现象。

    2）布特沃斯低通滤波器（BLPF）

    布特沃斯低通滤波器定义为 

 ，当 n 越大时，布特沃斯滤波器越接近理想滤波器，

    因此，变换到空间域后其卷积核的震荡性随着 n  增大而增大。

    当 n=1 时，变换到空间域其卷积核没有震荡，但其频率截止曲线过于平滑，图像平滑效果较差。

    当 n=2 时，变换到空间域其卷积核有轻微震荡，但其产生的振铃现象不大，同时具有较好的平滑性，因此 n=2 可作为一个折中方案，

    使用不同的截止频率 

，可以控制图像平滑程度，达到不同滤波效果。

    3）高斯低通滤波器（GLPF）

    高斯低通滤波器定义为 

，

 为滤波截止频率。

    由于高斯函数的傅里叶变换（或反傅里叶变换）均是高斯函数，因此，其卷积核没有振铃现象。

    综上，似乎高斯低通滤波器是最优的选择，一般情况下这个结论是正确的。

    但是由于2阶布特沃斯低通滤波器具有更陡峭的频率截止曲线，同时其振铃现象较小，

    在一些需要对频率严格分割的情况下，2阶布特沃斯低通滤波器应该是一个较好的选择。

    理想低通滤波器会产生较严重的振铃现象，因此一般都不是一个较好的选择！

3 高通滤波器

    有了低通滤波器，对其进行适当取反操作，即可以得到合适的高通滤波器。

    1）理想高通滤波器（IHPF）

    理想高通滤波器定义为  

，

    同样的，由于其反傅里叶变换具有震荡性，因此同样会产生振铃现象，这一般不是一个好的的选择。

    2）布特沃斯高通滤波器（BHPF）

    布特沃斯高通滤波器定义为 

,

    2阶布特沃斯高通滤波器的反傅里叶变换具有可以接受的较小震荡性，这是一个高通滤波的选择。

    3）高斯高通滤波器（GHPF）

    高斯高通滤波器定义为 

，

    高斯高通滤波器的反傅里叶变换没有震荡特性，因此滤波后不会产生振铃，这是一个好的高通滤波选择。