由浅入深一文详解同余原理

同余原理是数论中一个基础且重要的概念，它为我们研究整数之间的关系提供了独特的视角和强大的工具，在数学、计算机科学、密码学、信息安全等实际应用中发挥着关键作用。本文我将深入探讨同余原理的基本概念、性质、运算规则以及实际应用，带你全面理解这一重要原理，废话不多说直接发车。

一、同余原理的基本概念

1.1 同余的定义

给定一个正整数 $m$，如果两个整数 $a$ 和 $b$ 满足 $a-b$ 能够被 $m$ 整除，即 $(a-b)÷m$ 的结果是整数，那么就称整数 $a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。其中，$m$ 称为模，$\equiv$ 是同余符号 。例如，因为 $17-5=12$，$12$ 能被 $6$ 整除，所以可以表示为 $17\equiv 5(\mathrm{mod}6)$；再如 $25-10=15$，$15$ 能被 $5$ 整除，即 $25\equiv 10(\mathrm{mod}5)$。

从直观上理解，同余表示两个整数在除以同一个模 $m$ 时，具有相同的余数。例如，$17÷6=2\cdots \cdots 5$，$5÷6=0\cdots \cdots 5$，它们除以 $6$ 的余数都是 $5$，这也是同余的另一种等价理解方式。

1.2 剩余类与完全剩余系

• 剩余类：对于给定的模 $m$，所有与整数 $a$ 同余的整数构成的集合，称为 $a$ 关于模 $m$ 的剩余类，记作 $[a{]}_m$。例如，对于模 $3$， [ 0 ] 3 = { ⋯ , − 3 , 0 , 3 , 6 , ⋯ } [0]_3 = \{ \cdots, -3, 0, 3, 6, \cdots \} [0]3​={⋯,−3,0,3,6,⋯}， [ 1 ] 3 = { ⋯ , − 2 , 1 , 4 , 7 , ⋯ } [1]_3 = \{ \cdots, -2, 1, 4, 7, \cdots \} [1]3​={⋯,−2,1,4,7,⋯}， [ 2 ] 3 = { ⋯ , − 1 , 2 , 5 , 8 , ⋯ } [2]_3 = \{ \cdots, -1, 2, 5, 8, \cdots \} [2]3​={⋯,−1,2,5,8,⋯}。每个剩余类中的任意两个整数都对模 $m$ 同余，并且整数集可以被划分为 $m$ 个互不相交的剩余类。

• 完全剩余系：从模 $m$ 的每个剩余类中各取一个整数，得到的由 $m$ 个整数组成的集合，称为模 $m$ 的一个完全剩余系。例如，对于模 $4$， { 0 , 1 , 2 , 3 } \{0, 1, 2, 3\} {0,1,2,3} 是一个完全剩余系， { 4 , 5 , 6 , 7 } \{4, 5, 6, 7\} {4,5,6,7} 同样也是模 $4$ 的一个完全剩余系 。

二、同余原理的基本性质

2.1 自反性

对于任意整数 $a$ 和正整数 $m$，都有 $a\equiv a(\mathrm{mod}m)$。这是因为 $a-a=0$，$0$ 能被任何正整数 $m$ 整除，所以一个整数自身必然与自身对模 $m$ 同余。

2.2 对称性

若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $b\equiv a(\mathrm{mod}m)$。因为 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 意味着 $a-b$ 能被 $m$ 整除，那么 $b-a=-(a-b)$ 也能被 $m$ 整除，所以 $b$ 与 $a$ 对模 $m$ 同余。

2.3 传递性

若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 且 $b\equiv c(\mathrm{mod}m)$，则 $a\equiv c(\mathrm{mod}m)$。由 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 可得 $a-b=km$（$k$ 为整数），由 $b\equiv c(\mathrm{mod}m)$ 可得 $b-c=lm$（$l$ 为整数），那么 $a-c=(a-b)+(b-c)=(k+l)m$，即 $a-c$ 能被 $m$ 整除，所以 $a$ 与 $c$ 对模 $m$ 同余。

2.4 加减性

若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，$c\equiv d(\mathrm{mod}m)$，则 $a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}m)$，$a-c\equiv b-d(\mathrm{mod}m)$。因为 $a-b=km$，$c-d=lm$，所以 $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=(k+l)m$，$(a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d)=(k-l)m$，都能被 $m$ 整除。

2.5 乘性

若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，$c\equiv d(\mathrm{mod}m)$，则 $ac\equiv bd(\mathrm{mod}m)$。将 $a=b+km$，$c=d+lm$ 代入 $ac-bd$ 可得：$ac-bd=(b+km)(d+lm)-bd=bdm+bl{m}^2+kdm+kl{m}^2$，显然 $ac-bd$ 能被 $m$ 整除。

2.6 幂性

若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，那么对于任意正整数 $n$，有 $a^n\equiv b^n(\mathrm{mod}m)$。可以通过乘性进行递推证明，当 $n=1$ 时显然成立，假设 $a^k\equiv b^k(\mathrm{mod}m)$，由乘性可得 $a^{k+1}=a^k\cdot a\equiv b^k\cdot b=b^{k+1}(\mathrm{mod}m)$ 。

三、同余原理的运算与应用

3.1 同余运算在计算中的应用

同余运算可以简化复杂的数值计算。例如，计算 $2345\times 6789\mathrm{mod}11$，如果直接计算 $2345\times 6789$ 再取模，计算量较大。利用同余的乘性，先分别计算 $2345\mathrm{mod}11=1$，$6789\mathrm{mod}11=5$，然后计算 $1\times 5\mathrm{mod}11=5$，这样就大大简化了计算过程。

3.2 密码学中的应用

同余原理在密码学中有着广泛的应用，例如在 RSA 加密算法中，同余运算起到了核心作用。RSA 算法基于大整数分解的困难性，通过同余运算实现加密和解密过程。在加密时，利用同余的幂性对明文进行运算得到密文；解密时，同样依据同余原理进行反向运算恢复明文 。

3.3 日期与周期问题

在处理日期和周期相关的问题时，同余原理也非常有用。例如，已知今天是星期一，求 $100$ 天后是星期几。一周有 $7$ 天，以 $7$ 为模，$100\mathrm{mod}7=2$，因为今天是星期一，经过 $100$ 天相当于在星期一的基础上再过 $2$ 天，所以 $100$ 天后是星期三。

四、案例分析:快速幂取模

问题描述

计算 $a^b\mathrm{mod}m$ 的值，其中 $a$、$b$ 是非常大的整数（例如 $b$ 是 $10^5$ 级别的指数），直接计算 $a^b$ 会导致数值溢出或计算效率低下。利用同余原理的幂性和模运算性质，可以高效地求解该问题。

核心原理

根据同余的幂性：若 $a\equiv c(\mathrm{mod}m)$，则 $a^b\equiv c^b(\mathrm{mod}m)$。
结合快速幂算法（二分法），将指数 $b$ 分解为二进制位，通过不断平方并取模，避免大数运算。

代码实现：快速幂取模算法

以下代码均实现 $f(a,b,m)=a^b\mathrm{mod}m$，适用于大数场景。

Python实现

def fast_pow_mod(a, b, m):result = 1a = a % m  # 先对底数取模，避免初始值过大while b > 0:if b % 2 == 1:result = (result * a) % m  # 奇数指数时乘入结果a = (a * a) % m  # 底数平方并取模b = b // 2  # 指数减半return result# 示例：计算 3^100 mod 7
a = 3
b = 100
m = 7
print(f"{a}^{b} mod {m} = {fast_pow_mod(a, b, m)}")  # 输出: 3^100 mod 7 = 4

C++实现

#include <iostream>
using namespace std;long long fast_pow_mod(long long a, long long b, long long m) {long long result = 1;a = a % m;  // 底数取模while (b > 0) {if (b % 2 == 1) {result = (result * a) % m;  // 奇数指数时乘入结果}a = (a * a) % m;  // 底数平方取模b = b / 2;  // 指数减半}return result;
}int main() {long long a = 3, b = 100, m = 7;cout << a << "^" << b << " mod " << m << " = " << fast_pow_mod(a, b, m) << endl;  // 输出: 3^100 mod 7 = 4return 0;
}

Java实现

public class FastPowMod {public static long fastPowMod(long a, long b, long m) {long result = 1;a = a % m;  // 底数取模while (b > 0) {if (b % 2 == 1) {result = (result * a) % m;  // 奇数指数时乘入结果}a = (a * a) % m;  // 底数平方取模b = b / 2;  // 指数减半}return result;}public static void main(String[] args) {long a = 3, b = 100, m = 7;System.out.println(a + "^" + b + " mod " + m + " = " + fastPowMod(a, b, m));  // 输出: 3^100 mod 7 = 4}
}

代码解析

1. 初始取模：对底数 $a$ 先取模 $m$，确保初始值在合理范围内（利用同余原理 $a\equiv a\mathrm{mod}m(\mathrm{mod}m)$）。
2. 快速幂逻辑：
   • 当指数 $b$ 为奇数时，将当前底数 $a$ 乘入结果，并对结果取模。
   • 每次将底数 $a$ 平方并取模（利用同余的幂性：$a^2\equiv (a\mathrm{mod}m{)}^2(\mathrm{mod}m)$）。
   • 指数 $b$ 不断减半，直到变为 0，时间复杂度为 $O(\log b)$。
3. 避免溢出：每次乘法后立即取模，防止中间结果超过数据类型范围。

同余原理案例中的应用

• 幂性应用：通过 $a\equiv a\mathrm{mod}m(\mathrm{mod}m)$，将大数 $a$ 转换为等效的小数，简化计算。
• 模运算封闭性：加法、乘法在模运算下保持同余关系，即 $(a\times b)\mathrm{mod}m=[(a\mathrm{mod}m)\times (b\mathrm{mod}m)]\mathrm{mod}m$，确保每一步计算结果等价于原始大数运算的结果。

应用扩展：RSA加密中的模幂运算

在RSA加密算法中，加密和解密过程本质上是大数的模幂运算（如 $C=M^e\mathrm{mod}n$，$M=C^d\mathrm{mod}n$）。上述快速幂取模算法是RSA的核心实现基础，利用同余原理确保加密和解密的正确性，同时通过高效计算应对大数场景。通过同余原理和快速算法，即使 $e$ 和 $d$ 是数百位的大整数，也能在合理时间内完成计算。

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