归并排序：分治思想的高效排序

目录

基本原理

流程图解

实现方法

递归实现

非递归实现

演示过程

时间复杂度

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基本原理

归并排序(Merge Sort)是一种基于分治思想的排序算法，由约翰·冯·诺伊曼在1945年提出。其核心思想包括：

1. 分割(Divide)：将待排序数组递归地分成两个子数组，直到每个子数组只包含一个元素（此时认为已排序）

1. 合并(Merge)：将两个已排序的子数组合并成一个更大的有序数组

归并排序的关键在于"合并"操作，即如何将两个已排序的数组高效地合并成一个有序数组。这一过程通常使用额外的临时数组来存储合并结果。

流程图解

动图展示

分割图解和合并图解 

 

动图展示 

实现方法

递归实现

这是最直观的归并排序实现，使用递归方式：

//归并排序（子函数）
void _MergeSort(int* a, int left, int right, int* tmp)
{if (left >= right)//归并结束条件：当只有一个数据或是序列不存在时，不需要再分解{return;}int mid = left + (right - left) / 2;//中间下标_MergeSort(a, left, mid, tmp);//对左序列进行归并_MergeSort(a, mid + 1, right, tmp);//对右序列进行归并int begin1 = left, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = right;//将两段子区间进行归并，归并结果放在tmp中int i = left;while (begin1 <= end1&&begin2 <= end2){//将较小的数据优先放入tmpif (a[begin1] < a[begin2])tmp[i++] = a[begin1++];elsetmp[i++] = a[begin2++];}//当遍历完其中一个区间，将另一个区间剩余的数据直接放到tmp的后面while (begin1 <= end1)tmp[i++] = a[begin1++];while (begin2 <= end2)tmp[i++] = a[begin2++];//归并完后，拷贝回原数组int j = 0;for (j = left; j <= right; j++)a[j] = tmp[j];
}
//归并排序（主体函数）
void MergeSort(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int)*n);//申请一个与原数组大小相同的空间if (tmp == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);//归并排序free(tmp);//释放空间
}

非递归实现

• gap 代表 单个区间元素个数，也就是 区间长度
• 一次 归并排序 两个 长度为 gap 的区间
• 若想要排序下一组（即两个 长度为 gap 的区间），就需要每轮的最后，一次跳过 2*gap 长度（代表跳过前面排序的 两个 长度为 gap 的区间）
• gap 从1开始对 两个有序数组 进行排序，直到 gap >= n 时结束 ( n 为数组长度，这个就是外层while循环的结束条件 )

演示过程

利用 循环 实现归并排序时，我们也可以 先将数组中每一个元素 单独作为一组

第一轮 gap == 1 时：让 两两元素 归并排序 为一个含有两个元素的有序数组，然后 gap *= 2（gap 变成了 2）

第二轮 gap == 2 时：让 两个含有两个元素的有序数组 归并 为一个含有四个元素的有序数组，然后 gap *= 2（gap 变成了 4）

 第三轮 gap == 3 时：然后再让 两个含有四个元素的有序数组归并为一个含有八个元素的有序数组，然后 gap *= 2（gap 变成了 8）

就这样一直循环下去，直到 gap >= n ( n 为数组长度，这个就是外层while循环的结束条件 ) 时结束，结束时，数组就有序了 

当然，以上例子是一个待排序列长度比较特殊的例子，我们若是想写出一个广泛适用的程序，必定需要考虑到某些极端情况：

第一种：第一个区间的 end1 越界

则这一小区间就无需执行 本轮的归并排序了（不是以后都不归并，而是当前这一轮不用了），保留原数组数据即可（因为一个区间肯定保证是有序的）

第二种： 第二个区间的begin2 越界

说明第二个区间也不存在，则这一小区间也无需执行 本轮的归并排序了，保留原数组数据

第三种： 第二个区间的 end2 越界

当 end2 越界，（这里也就说明前面几项都没越界），需要修正end2：end2 直接等于右边界 end2 = R （因为越界的一定是最后一组）

//归并排序（子函数）
void _MergeSortNonR(int* a, int* tmp, int begin1, int end1, int begin2, int end2)
{int j = begin1;//将两段子区间进行归并，归并结果放在tmp中int i = begin1;while (begin1 <= end1&&begin2 <= end2){//将较小的数据优先放入tmpif (a[begin1] < a[begin2])tmp[i++] = a[begin1++];elsetmp[i++] = a[begin2++];}//当遍历完其中一个区间，将另一个区间剩余的数据直接放到tmp的后面while (begin1 <= end1)tmp[i++] = a[begin1++];while (begin2 <= end2)tmp[i++] = a[begin2++];//归并完后，拷贝回原数组for (; j <= end2; j++)a[j] = tmp[j];
}
//归并排序（主体函数）
void MergeSortNonR(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int)*n);//申请一个与待排序列大小相同的空间，用于辅助合并序列if (tmp == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}int gap = 1;//需合并的子序列中元素的个数while (gap < n){int i = 0;for (i = 0; i < n; i += 2 * gap){int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;if (begin2 >= n)//最后一组的第二个小区间不存在或是第一个小区间不够gap个，此时不需要对该小组进行合并break;if (end2 >= n)//最后一组的第二个小区间不够gap个，则第二个小区间的后界变为数组的后界end2 = n - 1;_MergeSortNonR(a, tmp, begin1, end1, begin2, end2);//合并两个有序序列}gap = 2 * gap;//下一趟需合并的子序列中元素的个数翻倍}free(tmp);//释放空间
}

时间复杂度

   从图中可以思考：归并排序的递归展开图是一棵满二叉树或完全二叉树，一共最多有 logN 层，每一个需要 归并排序共 N 次，则总共需要 NlogN 次，即 归并排序的时间复杂度为 O(NlogN)