链式法则中 复合函数的推导路径 多变量“信息传递路径”

非常好，我们将之前关于偏导数链式法则中不能“约掉”偏导符号的问题，统一使用 二重复合函数：

$$\boxed{z=f(u(x,y),v(x,y))}$$

来全面说明。我们会展示其全微分形式（偏导数版），并解释为什么各项的偏导不能随意“约掉”。

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🔷 场景设定

设：

• $z=f(u(x,y),v(x,y))$
• 即 $z$ 是 $u$、$v$ 的函数，而 $u$、$v$ 又是 $x,y$ 的函数
• 所以 $z$ 是 $x,y$ 的复合函数

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✅ 多元复合函数的全微分（偏导形式）

根据链式法则，$z$ 对 $x$、$y$ 的偏导数为：

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \\ \frac{\partial z}{\partial x}& =\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\\ & \\ & \\ \frac{\partial z}{\partial y}& =\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}\\ & \end{array}}$$

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📘 微分形式表达（总微分）

写成总微分（形式上类似线性代数）为：

$$\boxed{dz=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}dy}$$

整理为：

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❌ 偏导符号是否可以“约掉”？不能！

很多初学者会误以为下面这个式子：

$$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$$

把 $\partial u$ “约掉”：❌

$$\frac{\partial f}{\partial x}$$

这是错误的❌。原因如下：

✅ 正确解释：

符号	含义	为什么不能约掉
$\frac{\partial f}{\partial u}$	表示 $f$ 对中间变量 $u$ 的偏导	与 $x$ 没有直接关系
$\frac{\partial u}{\partial x}$	表示 $u$ 对 $x$ 的偏导	是链式法则中必需的部分
不能约掉	这是复合函数的推导路径，不是代数乘积	形式上像“分数”，实质是操作符

例如，假如你写：

$$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}\stackrel{？}{=}\frac{\partial f}{\partial x}$$

这是只有在 $f$ 是直接关于 $x$ 的函数时才成立，但在 $f(u(x,y))$ 这种情形中是不成立的，因为：

• $f$ 本身不显式依赖于 $x$
• $f$ 对 $x$ 的偏导要通过中间变量 $u(x,y)$ 来体现

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🧠 类比理解

你可以把这个链式法则理解为多变量“信息传递路径”：

• $x\to u\to f$，所以：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\cdots$$

你不能跳过中间路径直接“约掉变量”，就好像不能在函数链条中省略中间环节。

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✅ 总结

问题	是否能约掉	原因
$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$ 中的 $\partial u$ 是否能约掉？	❌ 不能	偏导是操作符，不是代数分数，不能做约分
偏导可以当成“微元”计算吗？	❌ 不建议	这种做法容易误导，只有在微分形式（如 $dz=Mdx+Ndy$）中才可有限制地使用类比

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你提到的这个等式是：

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}$$

你的问题是：

等式右边的 $\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}$ 等项中，
如果全部都是偏导或导数，是否可以“约掉”？

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✅ 答案简洁：

不能约掉！不论是偏导还是导数，这些“分数”形式只是符号，不能像普通分数那样做约分。

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🧠 详细解释如下：

❶ 这些是“导数符号”，不是普通分数

• $\frac{\partial f}{\partial x}$：是 f 对 x 的偏导数，含义是 f 在 x 方向的瞬时变化率。
• $\frac{dx}{dt}$：是 x 关于 t 的导数，表示 x 随 t 的变化。

虽然它们形式上像“分数”，但实际上是极限运算符，不能像普通分数一样约掉“dx”或“∂x”。

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❷ 为什么形式上像乘法，但不能“抵消”？

过程没有数学意义。

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❸ 但微分形式中，“看起来像”可以这么操作，为什么？

这是因为微分形式中的 dx、dy、dz 是可以视作一个代数对象，比如：

• 在微分形式理论（如微分几何）中，我们定义：

  $$dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

  这里的 dx 是作为微分一阶形式参与计算的。

但你说的：

「全部是偏导或导数时能不能约掉」

从严格的微积分或链式法则角度讲：不能。

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✅ 小结：

项目	是否能约掉	理由
偏导（如 $\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial t}$）	❌ 不能	是函数之间变化率的乘积，不是代数分数
全导数项（如 $\frac{dz}{dt}$）	❌ 不能	极限符号，不能当作分数简化

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