【数理知识】自由度 degree of freedom 及自由度的计算方法

放在最前的一句话：自由度是一个存在于两个学科中的概念，一个是存在于统计学中的自由度，另一个是存在于物理学中的自由度。而我本人需要的是研究物理学中的自由度概念，同时本笔记全篇也是在了解物理学中的自由度。

自由度

自由度是用来描述一个物理系统中，系统状态可以改变的独立方式的数量。

通常，每一个可以独立改变而不影响系统其它部分的参数都被认为是一个自由度。

例如，对于一个三维空间中的物理（如一个刚体或一个机器人手臂），可以有六个自由度：

• 三个用于描述刚体中心的位置（在 $x、y、z$ 轴上的移动）
• 另外三个用于描述刚体的方向（围绕 $x、y、z$ 轴的旋转）

再举例来说，运动自由度是确定一个系统在空间中的位置所需要的最小坐标数。

例如火车车厢沿铁轨的运动，只需从某一起点站沿铁轨量出路程，就可完全确定车厢所在的位置，即其位置用一个量就可确定，我们说火车车厢的运动有一个自由度；
汽车能在地面上到处运动，自由程度比火车大些，需要用三个量（例如线性坐标 $x,y$ 与角度坐标 $\theta$）才能确定其位置，我们说汽车的运动有三个自由度；
飞机能在空中完全自由地运动，需要用六个量（例如直角坐标 $x,y,z$ 与三个角度 $\varphi ,\theta ,\psi$）才能确定其位置，我们说飞机在空中的运动有六个自由度。

所谓自由度数就是确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目。

自由度意味着什么

在物理学和工程学中，自由度描述的是一个物理系统的状态可以独立变化的最少参数数量。

还是拿一个刚体来说，一个在三维空间中自由移动的刚体具有六个自由度：

• 三个对应于空间中的位置（上下，左右，前后），
• 三个对应于刚体围绕各个轴线（$x，y，z$轴）的旋转。

而每个自由度都可以独立于其他自由度进行改变，对系统的状态产生影响。

自由度的计算方法

在物理学和工程学中，一般来说，
一个在三维空间中自由移动的点质量有三个自由度（沿 $x、y$ 和 $z$ 轴的移动），
一个自由旋转的刚体有三个自由度（绕 $x、y$ 和 $z$ 轴的旋转），
一个在三维空间中自由移动和自由旋转的刚体有六个自由度（3个平移和3个旋转）。
在这种情况下，自由度的数量就是系统状态所需的独立参数的数量。

在特定的问题和场景中，需要根据实际情况来确定自由度。

在力学中，自由度指的是力学系统的独立坐标的个数。力学系统由一组坐标来描述。比如一个质点的三维空间中的运动，在笛卡尔坐标系中，由 $x、y、z$ 三个坐标来描述；或者在球体坐标系中，由 $r、\theta 、\varphi$ 三个坐标描述。

描述系统的坐标可以自由地选取，但独立坐标的个数总是一定的，也就是系统的自由度。一般而言，$N$ 个质点组成的力学系统由 $3N$ 个坐标来描述。但力学系统中常常存在着各种约束，使得这 $3N$ 个坐标并不都是独立的。对于 $N$ 个质点组成的力学系统，若存在 $m$ 个完整约束，则系统的自由度变为

$$S=3N-m$$

比如，在平面运动的一个质点，其自由度为 2。

又或者是，在空间中的两个质点，中间以线连接。所以其自由度为

$$\begin{array}{rl}S& =3\times 2-1\\ & =3+2+0\end{array}$$

其中的 3 表示 2 个质点的质心有 3 个位移方向，但由于有一条线约束，两个质点绕质心的转动自由度由 3 减为 2，即不可做以线为轴的转动，而又由于线是刚性不可伸缩的，故两质点不可在线的方向上振动，即振动自由度为 0。如果线是弹性的，则这个模型类似于两原子构成的气体分子模型，除了有 3 个位移自由度、2 个转动自由度外，还有 1 个振动自由度。

自由度的应用

自由度的概念被广泛应用于很多领域，包括但不限于以下几个领域：

• 机械工程和机器人学：在设计机器人或机械系统时，自由度是一个关键的概念。机器人的自由度指的是机器人可以独立控制的方向数量。例如，一个具有三个自由度的机器人臂可以在三个独立的方向上移动。

• 统计学：在统计学中，自由度是一个重要的概念，它涉及到样本数据的数量以及我们从这些数据中可以获得的信息。比如在t检验中，自由度通常等于样本数量减一。

• 物理学和化学：在分子动力学和量子力学中，一个系统的自由度是描述其状态所需的独立参数数量。比如一个气体分子的自由度可以包括它在空间中的位置和动量。

• 计算机图形学：在创建和操作3D模型时，我们经常会考虑模型的自由度。例如，一个3D模型的自由度可能包括它在3D空间中的位置、旋转和缩放。

• 生物学和生物物理：在研究蛋白质折叠、DNA运动等生物大分子的动力学行为时，会用到自由度的概念。例如，一个蛋白质的自由度可以包括每个原子的位置，或者每个键的角度。

• 结构力学：在建筑和土木工程中，自由度的概念被用来描述结构的约束。例如，一个固定在墙上的梁的自由度可能会少于一个两端都是自由的梁。

这些都是自由度概念的一些具体应用，但实际上，自由度的概念被广泛应用于许多其他的科学和工程领域。

Ref

1. 自由度 - 百度百科
2. 物理学中自由度怎么理解？平动，转动，振动的自由度，还有刚体的自由度？ - 知乎
3. 自由度 - WikiPedia