05-向量的意义_n维欧式空间

线性代数

什么是向量？究竟为什么引入向量？

• 为什么线性代数这么重要？从研究一个数拓展到研究一组数

• 一组数的基本表示方法——向量（Vector）

• 向量是线性代数研究的基本元素

• e.g. 一个数： 666， 一组数（6， 66， 666）

• 一组数有什么用？最基本的出发点：表示方向， 这也是向量中为什么包含“向”这个字

• 比如：

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• 我们从同一个起始点出发同样走了5000米， 我们的方向有偏差，所以最终得到的终止点是不一样的， 三维空间更是同理， 在物理中， 位移， 速度， 加速度， 力。。。 都是有方向这个概念的， 我们只看它的大小是不够的， 是片面的， 我们为了准确的看到这些物理量它所表示的真实的物理含义， 我们必须要考虑它的方向。

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• 在坐标系中我们一般以0点为原点， 不同起始点之间， 其实对于两个不同起始点来说，它们的区别在于坐标系的不同。换句话说， 这两个过程的不同只在于我们到底认为哪里是原点的不同。

• 向量只表征从一个点到另外的一个点，相应的这样的一个结果而不区分。这个过程是从哪一个起始点出发的，所以为了研究方便， 我们的这个起始点统一都是理解成从原点开始的。

• 在这里提醒一点，对于向量来说，由于它是由多个数字来表示，这多个数字的顺序是重要的，这非常好理解。很显然，（4， 3）这两个数字。所表示的这个向量和（3， 4）是截然不同的，换句话说，向量它也是一组有序的，向量顺序不同，所代表的向量就不同，

• 如果只是表示方向， 最多三个维度就够了

我们之所以引入向量这个概念，换句话说，我们之所以要用一组数来表达我们真实世界中的一些事物，正是因为具有方向这个概念，但是如果我们真的只是表达物理世界中的方向，这个概念的话。其实我们最多使用三个维度就够了，这是因为我们的世界在我们人类自己的感知中是一个三维的空间的世界，任何一个有形的方向最多。都只能在三维的空间中，但是为了扩大我们的研究范围，同时呢，也是为了增强向量这样的一个数学概念，它的能力我们完全可以更加抽象的用向量来描述n维的世界，也就是引入所谓n维向量这样的一个概念。

• 更加抽象的描述n维向量
• 举个栗子：
  

• 在这里呢？同志们应该明确一个概念，我们是无法直观的感知四维空间或者五维空间它是什么样子的，我们是看不见，也画不出来这样的一个空间的，我们只能去抽象的理解它。
• 但其实我们抽象的用高维的空间来表达一个事物这并不是一个什么特别罕见的，特别稀有的事情。实际上，我们经常这么做，我们在刻画一个事情的时候，经常说我们要从不同的角度来刻画这个事物，那么在这里我们日常用语中所谓的不同的角度，其实就是不同的维度。比如说我们刻画一个房子，我们就可以从这些角度来刻画它，它的面积有多大呀？它有多少个卧室啊？多少个卫生间啊？那么这个房子它具体的地点离最近的地铁站有多远呀？有多少干米？包括这个房子最终的价格到底是多少万元？那么这里每一个数字其实都是一个维度。同志们，我们可以想象不同的房子，相应的对应这些数字就不同，所以我们的每个房子就都可以使用这样的五个数字来表示。换句话说，我们使用了一个五个维度的向量来刻画一个个的房屋，那么这就是一个五维的向量。在这种情况下。显然，向量它其实就是一组数。
• 在这里同志们注意向量所表达的这一组数，它依然是有序的。我们调换一下数字的顺序，它所表达的这个房子的特性就完全不一样，比如说我把这里最后这两个数2和666调换一下，那么它其实就变成了表示有一个房子依然是120平米，三个卧室，两个卫生间，但是距离最近的地铁站有666干米，它的售价呢？仅为两万元，这样的一个房子和这里的这个房子是截然不同的。那么当然了，向量就是一组数， 这组数的含义本身其实是由使用者来定义的。
• 其实同志们想象一下，我们之前所介绍的我们用向量来表示方向。其实两个维度也好，三个维度也好，每一个维度代表哪个方向也是由我们使用者来定义的，只不过通常呢，我们就直接使用xyz这样的顺序来定义它而已，那么不管怎样，我们可以看出来，向量都是一组有序的数字，我们可以用两个视角来看待它，一个视角，我们就把它看作是一个方向。
• 当然在这里，我只说方向稍有不准确，其实这个方向的背后也蕴含了大小，因为(4, 3)和(8, 6)。其实它们指向的是同一方向，但是大小不同

• 两个视角看似不同， 但可以互相转换
• 一个方向， 就是一个点
• 空间中的一个点， 可以看做从原点指向这个点的一个方向。

• 下面来说一下另外一个视角, 另外一个视角呢？看起来它似乎不是表示一个方向，仅仅是一组有序的数字，那么对于这一组有序的数字，我们可以把它理解成是一个在高维空间中的数据点，
• 换句话说，大家可以想象一下，对于这个五维向量，我们可以想象成有个拥有五个维度坐标轴的这样的一个空间。那么，每个维度的坐标轴的取值都可以从负无穷到正无穷，在这之间呢，进行任意的取值，那么我们当前的这个房子就对应这五个维度，分别是取这些值所对应的一个点，那么一旦我们使用这样的视角来看待以后。其实这两个视角儿就可以互相转换了，这是因为一个方向和一个点是一一对应的，我们在之前介绍方向的时候。
• 就已经提出这一点了，由于在我们线性代数的世界中考虑方向这个概念，它的起始点并不重要，都是从原点出发的。所以对于空间中的任何一个点来说，我们都可以把它直接看作成一个从原点指向这个点的一个方向。也就是说，对于这个五维向量（120， 3， 2， 2， 666）来说，我们可以把它看作是从5个零，也就是五维空间中的那个坐标原点。指向这样的一个点的一个方向，当然了，同理对于这个从（0， 0）到（4， 3）的这个方向来说，我们也可以非常简单的只用（4， 3）这一个坐标点来进行表示。这二者呢， 其实是等价的

向量与其运算

向量是线性代数里面最基本的概念，它其实就是一维数组，由 N 个数构成的， X=(X1, X2…Xn)

向量的维度可以是任意正整数，可以表示在 n 维空间中的位置或方向。向量本身是一维的， 但向量所处的空间是n维的

向量的几何意义就是空间中的点，物理意义速度或者力这样的矢量，

向量的分量数我们称之为向量的维度（也可以称为特征Feature），n 维向量集合的全体就构成了 n 维欧式空间， R^n

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向量的分量数也称为向量的维度。在数学中，一个向量的维度是指向量在空间中的自由度或维数。一个 n 维向量表示在 n 维空间中的一个点或位置，它可以用 n 个分量来表示，分别对应该向量在每个坐标轴上的投影。

例如，在二维空间中，一个向量有两个分量，分别表示在 x 轴和 y 轴上的投影，因此称为二维向量。在三维空间中，一个向量有三个分量，分别表示在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影，因此称为三维向量。以此类推，向量的维度可以是任意正整数。

向量的维度决定了向量的空间位置和方向的自由度，也决定了向量在数学运算中的规则和特性。不同维度的向量在运算和表示上会有一些差异，但它们都符合向量的基本定义和性质。

如果一个向量是 (2, 3)，那么它的分量就是两个值：2 和 3。在二维空间中，一个向量有两个分量，分别对应它在 x 轴和 y 轴上的投影。

在这个例子中，向量 (2, 3) 表示在 x 轴方向上有一个分量为 2 的投影，在 y 轴方向上有一个分量为 3 的投影。这样的向量可以用来表示平面上的一个点或位置。在笛卡尔坐标系中，向量 (2, 3) 从原点出发，沿着 x 轴方向移动 2 个单位，然后沿着 y 轴方向移动 3 个单位，最终到达点 (2, 3)。

需要注意的是，向量的分量的顺序通常是按照笛卡尔坐标系的顺序排列，即先是 x 轴方向的分量，然后是 y 轴方向的分量。因此，(2, 3) 表示的是 x 轴方向的分量为 2，y 轴方向的分量为 3。

• 在学习初始， 使用方向的视角， 更直观， 更形象

• 我们在实际的使用线性代数的过程中，我个人认为我们更多的是倾向于使用第二个视角来看待向量，也就是把每一个向量看作是空间中的一个点，但是在我们学习向量的基本性质的时候，很多时候我们使用方向这样的一个视角去看待，会更加的容易，这是因为我们可以直接在二维的世界中，或者三维的世界中绘制出这个向量来，然后非常直观的看到。这个向量具体是什么样子的？相应的一些运算对于这个向量会产生什么样的影响？那么通过这样的一个直观的学习之后，我们可以把我们学到的这些运算也好，性质也好。也好推广到更高维的维度向量空间中去，这本身呢，也是我们在学习线性代数的过程中的一个非常基本的学习方法。
• 那么，在这里，同志们要注意的是，不管这两种视角使用哪个视角，在这里，向量其实都并不是简单的一组数而已，它并不是把这些数字扔在那里排列起来，我们在看待向量的时候，是把它和空间联系起来的。对于第一个视角儿，我们说。向量是具有方向的，其实我们把它看成了一个有向的线段，而对于第二个视角儿，我们把它看成了是空间中的一个点。这两个视角儿都具有一定的几何意义，而不仅仅是数学上数字的堆叠而已。对于此，我希望同志们有所理解，在我们的学习中，一旦同志们认为。某一些概念太抽象了的话，其实我们就可以去尝试着把这个概念进行具象化，比如说就看在三维空间中，甚至是二维空间中。在这样的一个几何空间中。它到底意味着什么？这将非常有助于同志们理解线性代数中的很多计算的过程，甚至是非常复杂的概念。