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高等数学上册 第五章 定积分 知识点总结

定积分

定积分的性质: ( 1 ) ∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x ( 2 )设 a < c < b ,则 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x ( 3 )在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 1 ,则 ∫ a b f ( x ) d x = b − a ( 4 )在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≥ 0 ,则 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 ( 5 )设 m 和 M 分别在 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最小值和最大值, 则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) ( 6 )定积分中值定理: ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ( a ≤ ξ ≤ b ) 积分上限的函数及其导数: 积分上限的函数 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t 其导数为 f ( x ) 牛顿 − 莱布尼茨公式(微积分基本公式): ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) 如下等式所示,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的联系 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ⏟ 定积分中值定理 = F ′ ( ξ ) ( b − a ) = F ( b ) − F ( a ) ⏟ 微分中值定理 ⏟ 牛顿 − 莱布尼茨公式 定积分的性质:\\ (1)\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx \\ (2)设a<c<b,则\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx \\ (3)在[a,b]上f(x)\equiv1,则\int_a^bf(x)dx=b-a \\ (4)在[a,b]上f(x)\ge0,则\int_a^bf(x)dx\ge0 \\ (5)设m和M分别在f(x)在[a,b]上的最小值和最大值,\\ 则m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx\le M(b-a) \\ (6)定积分中值定理:\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)(a\le\xi\le b)\\ \,\\\,\\ 积分上限的函数及其导数: \\ 积分上限的函数\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt其导数为f(x) \\ \,\\\,\\ 牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式):\\ \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \\ 如下等式所示,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的联系 \\ \begin{matrix}\underbrace{\begin{matrix}\underbrace{\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)} \\ 定积分中值定理\end{matrix} =\begin{matrix}\underbrace{F'(\xi)(b-a)=F(b)-F(a)} \\ 微分中值定理\end{matrix} } \\ 牛顿-莱布尼茨公式\end{matrix} 定积分的性质:1ab[αf(x)+βg(x)]dx=αabf(x)dx+βabg(x)dx2)设a<c<b,则abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx3)在[a,b]f(x)1,则abf(x)dx=ba4)在[a,b]f(x)0,则abf(x)dx05)设mM分别在f(x)[a,b]上的最小值和最大值,m(ba)abf(x)dxM(ba)6)定积分中值定理:abf(x)dx=f(ξ)(ba)aξb积分上限的函数及其导数:积分上限的函数Φ(x)=axf(t)dt其导数为f(x)牛顿莱布尼茨公式(微积分基本公式):abf(x)dx=F(b)F(a)如下等式所示,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的联系 abf(x)dx=f(ξ)(ba)定积分中值定理= F(ξ)(ba)=F(b)F(a)微分中值定理牛顿莱布尼茨公式

例题

( 1 )计算导数: d d x ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ ( π t 2 ) d t 原式 = d d x [ ∫ 0 cos ⁡ x cos ⁡ ( π t 2 ) d t − ∫ 0 sin ⁡ x cos ⁡ ( π t 2 ) d t ] = − sin ⁡ x cos ⁡ ( π cos ⁡ 2 x ) − cos ⁡ x cos ⁡ ( π sin ⁡ 2 x ) ( 2 )求由参数表达式 x = ∫ 0 t sin ⁡ u d u , y = ∫ 0 t cos ⁡ u d u 所确定的函数对 x 的导数 d y d x d y d x = d y d t / d x d t = cos ⁡ t sin ⁡ t = cot ⁡ t ( 3 ) d d x ∫ 0 x 2 1 + t 2 d t = 2 x 1 + x 4 ( 4 )证明 f ( x ) = ∫ 1 x 1 + t 3 d t 在 [ − 1 , + ∞ ) 上单调增,并求 ( f − 1 ) ′ ( 0 ) 首先,显然 f ( x ) 在 [ − 1 , + ∞ ) ,且 f ′ ( x ) = 1 + x 3 ≥ 0 ,因此单调增 那如何求其反函数在 0 这点上的导数呢,首先求原函数即 1 + x 3 的不定积分不好求 但我们可以从目标出发,如下: ( f − 1 ) ′ ( 0 ) = 1 f ′ ( x 0 ) ,这里的 x 0 满足 f ( x 0 ) = 0 如果要让积分为 0 ,令积分上限 = 积分下限即可,求得 x 0 = 1 f ′ ( 1 ) 好求啊,即 1 + 1 3 = 2 ,因此最终结果为 1 2 (1)计算导数:\frac{d}{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)dt \\ 原式=\frac{d}{dx}[\int_{0}^{\cos x}\cos(\pi t^2)dt-\int_{0}^{\sin x}\cos(\pi t^2)dt] \\ =-\sin x\cos(\pi \cos ^2x)-\cos x\cos(\pi \sin ^2x) \\ \,\\ (2)求由参数表达式x=\int_0^t\sin udu,y=\int_0^t\cos udu所确定的函数对x的导数\frac{dy}{dx} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\frac{\cos t}{\sin t}=\cot t \\ \,\\ (3)\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\sqrt{1+t^2}dt=2x\sqrt{1+x^4} \\ \,\\ (4)证明f(x)=\int_1^x\sqrt{1+t^3}dt在[-1,+\infty)上单调增,并求(f^{-1})'(0) \\ 首先,显然f(x)在[-1,+\infty),且f'(x)=\sqrt{1+x^3}\ge0,因此单调增 \\ 那如何求其反函数在0这点上的导数呢,首先求原函数即\sqrt{1+x^3}的不定积分不好求 \\ 但我们可以从目标出发,如下: \\ (f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'(x_0)},这里的x_0满足f(x_0)=0 \\ 如果要让积分为0,令积分上限=积分下限即可,求得x_0=1 \\ f'(1)好求啊,即\sqrt{1+1^3}=\sqrt{2},因此最终结果为\frac{1}{\sqrt2} 1)计算导数:dxdsinxcosxcos(πt2)dt原式=dxd[0cosxcos(πt2)dt0sinxcos(πt2)dt]=sinxcos(πcos2x)cosxcos(πsin2x)2)求由参数表达式x=0tsinuduy=0tcosudu所确定的函数对x的导数dxdydxdy=dtdy/dtdx=sintcost=cott3dxd0x21+t2 dt=2x1+x4 4)证明f(x)=1x1+t3 dt[1,+)上单调增,并求(f1)(0)首先,显然f(x)[1,+),且f(x)=1+x3 0,因此单调增那如何求其反函数在0这点上的导数呢,首先求原函数即1+x3 的不定积分不好求但我们可以从目标出发,如下:(f1)(0)=f(x0)1,这里的x0满足f(x0)=0如果要让积分为0,令积分上限=积分下限即可,求得x0=1f(1)好求啊,即1+13 =2 ,因此最终结果为2 1

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