高等数学上册 第五章 定积分 知识点总结

定积分

$$\begin{gathered} 定积分的性质： \\ （1）{\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx \\ （2）设a<c<b，则{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx \\ （3）在[a,b]上f(x)\equiv 1，则{\int }_a^{b}f(x)dx=b-a \\ （4）在[a,b]上f(x)\ge 0，则{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0 \\ （5）设m和M分别在f(x)在[a,b]上的最小值和最大值， \\ 则m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a) \\ （6）定积分中值定理：{\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)（a\le \xi \le b） \\ 积分上限的函数及其导数： \\ 积分上限的函数\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt其导数为f(x) \\ 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本公式）： \\ {\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \\ 如下等式所示，牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的联系 \\ \begin{array}{c}\underbrace{\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)}\\ 定积分中值定理\end{array}=\begin{array}{c}\underbrace{F^{\prime }(\xi )(b-a)=F(b)-F(a)}\\ 微分中值定理\end{array}}\\ 牛顿-莱布尼茨公式\end{array} \end{gathered}$$

例题

$$\begin{gathered} （1）计算导数：\frac{d}{dx}{\int }_{\sin x}^{\cos x}\cos (\pi t^2)dt \\ 原式=\frac{d}{dx}[{\int }_0^{\cos x}\cos (\pi t^2)dt-{\int }_0^{\sin x}\cos (\pi t^2)dt] \\ =-\sin x\cos (\pi {\cos }^{2}x)-\cos x\cos (\pi {\sin }^{2}x) \\ （2）求由参数表达式x={\int }_0^t\sin udu，y={\int }_0^t\cos udu所确定的函数对x的导数\frac{dy}{dx} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\frac{\cos t}{\sin t}=\cot t \\ （3）\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\sqrt{1+t^2}dt=2x\sqrt{1+x^4} \\ （4）证明f(x)={\int }_1^x\sqrt{1+t^3}dt在[-1,+\infty )上单调增，并求(f^{-1}{)}^{\prime }(0) \\ 首先，显然f(x)在[-1,+\infty )，且f^{\prime }(x)=\sqrt{1+x^3}\ge 0，因此单调增 \\ 那如何求其反函数在0这点上的导数呢，首先求原函数即\sqrt{1+x^3}的不定积分不好求 \\ 但我们可以从目标出发，如下： \\ (f^{-1}{)}^{\prime }(0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}，这里的x_0满足f(x_0)=0 \\ 如果要让积分为0，令积分上限=积分下限即可，求得x_0=1 \\ {f}^{\prime }(1)好求啊，即\sqrt{1+1^3}=\sqrt{2}，因此最终结果为\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$