题解 | #1002.Random Nim Game# 2023杭电暑期多校7

1002.Random Nim Game

诈骗博弈题

题目大意

Nim是一种双人数学策略游戏，玩家轮流从不同的堆中移除棋子。在每一轮游戏中，玩家必须至少取出一个棋子，并且可以取出任意数量的棋子，条件是这些棋子都来自同一个棋子堆。走最后一步棋（即取出最后一块棋子）的人获胜。

现在更改游戏规则，在每个回合中，棋手必须选择一个棋子堆。假设他选择的堆包含 $x$ 个棋子，将从 $[1,x]$ 中随机一个整数 $y$ ，并从堆中移除 $y$ 个棋子

求先手获胜的概率，答案取模

解题思路

看起来很吓人的一道题（谁被吓退了我不说）//

考虑只有一个堆的情况
若只有 $1$ 个棋子，先手必胜
如果有 $2$ 个棋子，有 $\frac{1}{2}$ 的概率拿完获胜，有 $\frac{1}{2}$ 的概率余 $1$ 失败，综合胜率 $\frac{1}{2}$
$⋮$
如果有 $x(x>1)$ 个棋子，有 $\frac{n-2}{n}$ 的概率转移到 剩余个数 $>1$ 的状态，有 $\frac{1}{n}$ 的概率拿完获胜，有 $\frac{1}{n}$ 的概率余 $1$ 失败。递归得到 $x>1$ 的状态下的综合胜率为 $\frac{1}{2}$

再考虑多堆的情况
如果所有堆的棋子数量均为 $1$ ，则当堆数 $n$ 为奇数时先手必胜
如果有某堆的数量多于 $1$ 个，那么必胜态将以 $\frac{1}{2}$ 的概率流转

综上所述，如果所有堆的棋子数量均为 $1$ ，则当堆数 $n$ 为奇数时先手必胜， $n$ 为偶数时先手必败，其余情况综合胜率 $\frac{1}{2}$

参考代码

参考代码为已AC代码主干，其中部分功能需读者自行实现

void solve()
{ll n;cin >> n;ll mx=0,t;FORLL(i,1,n){cin >> t;mx=max(mx,t);}if(mx>1) cout << inv(2) << endl;else if(n%2) cout << 1 << endl;else cout << 0 << endl;
}