期权定价模型系列【4】—期权组合的Delta-Gamma-Vega中性

期权组合的Delta-Gamma-Vega中性

期权组合构建时往往会进行delta中性对冲，在进行中性对冲后，期权组合的delta敞口为0，此时期权组合仍然存在gamma与vega敞口。因此研究期权组合的delta-gamma-vega敞口中性是有必要的。

本文旨在对delta-gamma-vega中性对冲的理论分析，具体的代码可以参考【期权量化】专栏，专栏地址如下：

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1.前言

回顾一下：Delta表示期权价格对标的资产价格变化的敏感度，即标的资产价格变动一个单位时，期权价格的变化量。Gamma表示Delta随标的资产价格变化而变化的敏感度。即标的资产价格变动一个单位时，Delta的变化量。Vega表示期权价格对标的资产波动率的敏感度，即期权价格变化与隐含波动率变化的比值。

期权作为一个复杂的非线性金融衍生品，影响其价值的因素有很多。在这诸多因素中，对期权价值影响最为直接的是期权标的资产的价值。为了量化这一影响，人们在期权定价公式中定义了delta 的概念，并从数学的角度上证明出，如果一个期权投资组合保持动态的保持delta中性，就能消除标的资产价格变动对该组合产生的损益影响。

在持有一个进行delta动态对冲并保持delta中性的投资组合中，标的资产价格的变动不再是影响投资组合损益的主要因素了。然而，由于期权产品的复杂性，仍然有许多其他的因素能够左右投资组合的损益情况，这其中，起主导作用的是gamma风险，vega风险，甚至是利率风险以及股息风险。

与标的资产delta为1不同，标的资产的gamma与vega均为0，因此通过标的资产的数量变动并不可以改变期权组合的gamma与vega头寸。与gamma头寸类似，期权的vega头寸的调整需要引入与标的资产有关的衍生品才可以达到目的。也就是说，当一个期权组合通过调整标的资产价格达到delta中性时，该组合往往还存在gamma与vega方向的暴露，因此还需要引入衍生品来调整gamma与vega头寸。

2.期权组合的delta

当持有期权头寸时，为了保证投资组合的delta中性，会卖出与期权头寸delta等量的期货合约来对冲。一个平值的期权的delta值通常在0.5左右。若期权处于实值阶段，则期权的delta将会趋近于1，这代表着深度实值的期权近似的等价于一手具有同等合约大小的期货合约。类似的，如期权处于虚值阶段，则期权的delta将会趋近于0，这代表着深度虚职的期权合约不具备任何价值。

3.期权组合的gamma损益

当我们持有一个期权头寸时，在期权到期之前，我们可以用期货来持续的动态对冲掉期权头寸的delta以保持整个投资组合的delta中性，此delta动态对冲过程中，会不断买入或者卖出期货合约，这些用以对冲而买进或者卖出的期货合约便会在总头寸中不断的累积损益。通常来说，在买入期权的投资组合中，delta中性对冲后整体投资组合的损益往往是负的，而在卖出期权的投资组合中，delta中性对中后整体投资组合的损益往往是正的。这一损益就是我们常常说的gamma损益。

4.期权组合的vega

从Black Scholes公式中我们知道，影响期权价值的还有波动率水平这一因素。在期权生效的期间内，标的指数的波动率水平往往是不断变化的，波动率的变化也会给期权带来vega损益。一般的，当波动率水平升高时，由于标的指数波动的幅度更大了，则期权更有可能在到期时变为实值，期权的价值也会随之升高。相反的，当波动率水平降低时，期权的价值会随之降低。当然，如果投资者一直按照购买期权的初始隐含波动率为标准来计算delta并进行delta中性对冲，并持续这一过程直到期权到期，那么从期权购买直至到期这一段时间内，波动率带来的vega损益将会是0。

5.例子

考虑一个delta中性组合，其gamma为-5000，vega为-8000。此时购买4000份期权1使得组合变为vega中性（期权1的delta为0.6，gamma为0.5，vega为2）这样使得组合的delta变为2400，为了delta中性，必须卖出2400份标的资产，组合的gamma也变为-3000。为了保证gamma和vega中性，需要将期权1与期权2（delta为0.5，gamma为0.8，vega为1.2）加入到组合中，那么有：

-5000+0.5w1+0.8w2=0

-8000+2w1+1.2w2=0

求解得到w1=400，w2=6000，也就是说同时加入400份期权1与6000份期权2可以使得组合变为gamma与vega中性。此时组合delta变为3240，还需要卖出3240份标的资产才可使得组合变为delta中性。通过上述操作，便可使得期权组合变为一个delta-gamma-vega中性的组合。

6.代码部分

具体代码可以参考【期权量化】专栏的同名文章