第三章，矩阵，07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解

玩转线性代数(19)初等矩阵与初等变换的相关应用的笔记，例见原文

一个基本的方法

已知：$A^r\sim F$，求可逆阵$P$，使$PA=F$ ($F$为$A$的行最简形)
方法：利用初等行变换，将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘，从而得到可逆矩阵P.
步骤：
（1）对矩阵A进行l次初等行变换至行最简形：
$A^r\sim F$，即$P_l...P_2{P}_1{A}^r=F$
（2）求$P=P_l...P_2{P}_1$
将$(A,E)$看成分块矩阵，后面的E为记录器，对分块矩阵$(A,E)$进行初等行变换：
$(A,E)\to P_l...P_2{P}_1(A,E)\to (P_l...P_2{P}_{1}A,P_l...P_2{P}_1)\to (PA,P)\to (F,P)$
即当A化为F后E化为P。
那么若A可逆，$A^{-1}A=E$，即将A化为单位阵，右边的E就化为$A^{-1}$

求$A^{-1}B$

即将上面的“记录器”E换为B，将A化为E的一系列行变换操作（等效于左乘$A^{-1}$）全部作用到B上
$A^{-1}(A,B)=(E,A^{-1}B)$

LU分解

假设A是m*n矩阵并且可以化简为行阶梯形而不必经过行对换或数乘，则A可以分解成如下的形式：
$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ \ast & 1& 0& 0\\ \ast & \ast & 1& 0\\ \ast & \ast & \ast & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}■& \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0& ■& \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& ■& \ast \\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=LU$
L是单位下三角矩阵，主对角线元素全是1，它其实是一系列$E(ij(k))$类型初等矩阵的乘积，L可逆；U是A的一个等价的行阶梯形矩阵。

例1，求矩阵A的LU分解：

令
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 1& 5& 2\\ 4& -1& 9\end{array}\right)$
则
$(A,E)=\left(\begin{array}{cccccc}2& 4& 2& 1& 0& 0\\ 1& 5& 2& 0& 1& 0\\ 4& -1& 9& 0& 0& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccccc}2& 4& 2& 1& 0& 0\\ 0& 3& 1& -\frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& -9& 5& -2& 0& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccccc}2& 4& 2& 1& 0& 0\\ 0& 3& 1& -\frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& 0& 8& -\frac{7}{2}& 3& 1\end{array}\right)=(U,p)$
故$U=PA\Rightarrow A=P^{-1}U$，有
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 1& 5& 2\\ 4& -1& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \frac{1}{2}& 1& 0\\ 2& -3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 8\end{array}\right)=LU$

例12，LU分解解线性方程组：

将系数矩阵进行LU分解，然后分两步解出方程

在具体求解时要使用数学软件来求，计算机解线性方程组时就采用LU分解．手动进行LU分解当然是比较麻烦的.