概率论：多维随机变量及分布

多维随机变量及分布

$X$为随机变量， ∀ x ∈ R , P { X ≤ x } = F ( x ) \forall x\in R,P\{X\le x\}=F(x) ∀x∈R,P{X≤x}=F(x)
设$F(x)$为$X$的分布函数，则
（1）$0\le F(x)\le 1$
（2）$F(x)$不减
（3）$F(x)$右连续
（4）$F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$

二维随机变量及分布

1.基本概念
二维随机变量，$E$为随机实验，$\Omega$为样本空间，若$\forall \omega \in \Omega$，$\exists$唯一一对实数$(X,Y)$与$\omega$对应，称$(X,Y)$为二维随机变量
2.分布函数
（1） ∀ x , y ∈ R , P { X ≤ x , Y ≤ y } = F ( x , y ) \forall x,y\in R,P\{X\le x,Y\le y\}=F(x,y) ∀x,y∈R,P{X≤x,Y≤y}=F(x,y)
（2）$(X,Y)$为二维随机变量
P { X ≤ x } = F X ( x ) P\{X\le x\}=F_X(x) P{X≤x}=FX​(x),$X$的边缘分布函数
P { Y ≤ y } = F Y ( y ) P\{Y\le y\}=F_Y(y) P{Y≤y}=FY​(y),$Y$的边缘分布函数
（3）$(X,Y)$为二维随机变量
设$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数，则
（1）$0\le F(x,y)\le 1$
（2）$F(x,y)$关于$x,y$不减
（3）$F(x)$关于$x,y$右连续
（4）$F(-\infty ,-\infty )=0,F(-\infty ,+\infty )=0,F(+\infty ,-\infty )=0$
$F(+\infty ,+\infty )=1$

二维离散型变量及分布

1.二维离散型变量
$(X,Y)$为二维随机变量，若$(X,Y)$可能取值为有限个或可列个，称$(X,Y)$为二维离散型变量
2.二维离散型变量联合分布律与边缘分布律
$(X,Y)$为二维联合分布函数为 P { X ≤ x , Y ≤ y } = F ( x , y ) P\{X\le x,Y\le y\}=F(x,y) P{X≤x,Y≤y}=F(x,y)
若$\exists f(x,y)\ge 0$使得${\int }_{-\infty }^{x}dx{\int }_{-\infty }^{y}f(x,y)dy=F(x,y)$
称$(X,Y)$为二维连续型变量，$f(x,y)$称为$(X,Y)$的联合密度函数（$f(x,y)\ge 0且{\int }_{-\infty }^{\infty }dx{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy=1$）
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy=f_X(x)$，$X$的边缘密度函数
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx=f_Y(y)$，$Y$的边缘密度函数

二维连续型变量均匀分布

定义$D$为$xoy$面内有限区域，其面积为$A$。若二维连续型随机变量$(X,Y)$的联合密度为
$$f(x,y)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{A},(x,y)\in D\\ 0,(x,y)\notin D\end{array}$$
称$(X,Y)$在$D$上服从均匀分布，记$(X,Y)\sim U(D)$

二维正太分布

设$(X,Y)$为二维连续型随机变量，若$(X,Y)$的联合密度函数为
$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{\frac{1}{-2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]}$$
称$(X,Y)$服从以${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho$为参数的二维正太分布，记$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$