如何理解“对矩阵进行初等行变换不改变其列向量的线性关系”？

对矩阵A进行初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵P。

把A看作是列向量组，若有Ax=0，则其中的x就说明了列向量的线性关系：
$$\left[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]$$
$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3=0$$

若对A进行初等行变换后得到了$PAx=0$，知$Ax=0$与$PAx=0$同解，就说明了x也适用于矩阵$PA$的列向量之间的线性关系

所以 $A$ 与 $PA$ 的列向量有相同的线性关系。

此外，$PA$的行向量组与A的行向量组等价。把A看作是行向量组，若$PA=B$，有：
$$\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{21}& p_{22}& p_{23}\\ p_{31}& p_{32}& p_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_{11}{\alpha }_1+p_{12}{\alpha }_2+p_{13}{\alpha }_3\\ p_{21}{\alpha }_1+p_{22}{\alpha }_2+p_{23}{\alpha }_3\\ p_{31}{\alpha }_1+p_{32}{\alpha }_2+p_{33}{\alpha }_3\end{array}\right]$$
可知矩阵B的每一个行向量都能用矩阵A的行向量进行线性表出。又由于矩阵P可逆，故$A=P^{-1}B$，同理可知矩阵A的每一个行向量也可由矩阵B的行向量进行线性表出。

因此矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。