欧拉函数和最大公约数

 分析：如果两个数的最大公约数是一个质数p，那么这两个数都除以p，得到的两个数的最大公约数一定是1.

反证法：如果得到的两个数的最大公约数不是1，那么把此时的最大公约数乘以上边的最大公约数，得到的一定比上述的最大公约数大，那么上述的最大公约数就不是最大那两个数的最大公约数，所以结论错误。即得到的两个数的最大公约数一定是1.

由于发现两个数都除以p之后，得到的数的最大公约数是1，那么我们可以想到欧拉函数，此时就可以先处理欧拉函数和欧拉函数的前缀和，然后枚举1~n的所有质数，每次求1~n/p（下取整）中与n/p（下取整）互质的个数，由于（1，2），（2，1）属于两个那么还需要乘以2，（1，1）（1，1）属于1个，最后还得减去1.

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e7 + 10;int hpi[N];
int primes[N],cnt;
bool st[N];
int n;
long long s[N];void init()
{hpi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]) {primes[cnt++]=i;hpi[i]=i-1;}for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){st[primes[j]*i]=true;if(i%primes[j]==0){hpi[primes[j]*i]=primes[j]*hpi[i];break;}hpi[i*primes[j]]=hpi[i]*(primes[j]-1);}}for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+hpi[i];
}
int main()
{cin>>n;init();long long res=0;for(int i=0;i<cnt;i++){int p=primes[i];res+=(2*s[n/p]-1);}cout<<res<<endl;return 0;
}