【傅里叶级数与傅里叶变换】数学推导——3、[Part4：傅里叶级数的复数形式] + [Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换] + 总结

---

文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频，本篇文章提供了一些基础知识点，比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。

文章全部链接：
基础知识点
Part1：三角函数系的正交性
Part2：T=2π的周期函数的傅里叶级数展开
Part3：周期为T=2L的函数展开
Part4：傅里叶级数的复数形式
Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
总结

---

---

Part4：傅里叶级数的复数形式

前面的部分得到了对于周期为$T$的函数，有$L=\frac{2}{T}$其傅里叶级数的展开函数形式：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosn\omega t+b_{n}sinn\omega t\right)\\ a_0& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt\\ a_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cosn\omega tdt\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sinn\omega tdt\end{array}$$

在了解傅里叶级数的复数形式之前，需要了解欧拉公式

$$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$$

由欧拉公式可以得到：

$$\begin{array}{r}cos\theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}\\ sin\theta =-\frac{i}{2}(e^{i\theta }-e^{-i\theta })\end{array}$$

计算$cos\theta$和$sin\theta$的方法，令$\theta =-\theta$，代入欧拉公式，组成一个方程组：
$$\{\begin{array}{c}{e}^{i\theta }=cos\theta +isin\theta \\ e^{-i\theta }=cos\theta -isin\theta \end{array}$$
两式相加得到$cos\theta$，两式相减得到$sin\theta$。

---

将复数形式得到的$cos\theta$和$sin\theta$代入傅里叶级数展开函数，有：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})-\frac{i{b}_n}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\right)\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{in\omega t}+\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-in\omega t}\right)\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{in\omega t}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-in\omega t}\end{array}$$

对上式第三项，令$n=-n$，转换为：

$$f(t)=\sum _{n=0}^0\frac{a_0}{2}{e}^{in\omega t}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{in\omega t}+\sum _{n=-\infty }^{-1}\frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2}{e}^{in\omega t}$$

可以发现在区间$(-\infty ,\infty )$之间有共同项$e^{in\omega t}$，令共同项的系数为$C_n$，那么就得到：

$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{in\omega t} \\ {C}_n=\{\begin{array}{cc}\frac{a_0}{2},& n=0\\ \frac{1}{2}\left(a_n-i{b}_n\right)，& n=1,2,3,...\\ \frac{1}{2}\left(a_{-n}+i{b}_{-n}\right)，& n=-1,-2,-3,...\end{array} \end{gathered}$$

将$a_0$、$a_n$、$b_n$代入到$C_n$

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosn\omega t+b_{n}sinn\omega t\right)\\ a_0& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt\\ a_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cosn\omega tdt\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sinn\omega tdt\end{array}$$

当$n=0$时，

$$C_n=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$$

当$n>0,n\in Z$时，

$$\begin{gathered} C_n=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cosn\omega tdt-i\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sinn\omega tdt\right] \\ =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)\left(cosn\omega t-sinn\omega t\right)dt \\ cosn\omega t-sinn\omega t=cos(-n\omega t)+sin(-n\omega t)=e^{-in\omega t} \\ {C}_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt \end{gathered}$$

当$n<0,n\in Z$时，

$$\begin{gathered} C_n=\frac{1}{2}\left(a_{-n}+i{b}_{-n}\right) \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cos\left(-n\omega t\right)dt+i\cdot \frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sin(-n\omega t)dt\right] \\ =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)\left[cos(-n\omega t)+sin(-n\omega t)\right]dt \\ =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t} \end{gathered}$$

当$n=0$时，

$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt$$

从上面可以看出来，在$(-\infty ,\infty )$区间内，$C_n$可以统一到一个形式：$C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt$。

---

总结，对于一个周期为$T$的函数$f(t)=f(t+T)$，其复数形式的傅里叶展开函数为：
$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{in\omega t} \\ {C}_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt \end{gathered}$$

---

Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换

前面得到了周期函数复数形式的傅里叶展开函数，令${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$，${\omega }_0$被称为基频率。

$$\begin{array}{rl}& f_T(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{in{\omega }_{0}t}\\ & C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-in{\omega }_{0}t}dt\\ & 其中n\in Z\end{array}$$

对于一个周期函数，假设其图示如下，横坐标为$t$，纵坐标为对应的值，这是在时域空间上的图。

如果采用如下图所示的坐标系，以$n{\omega }_0$为$x$坐标，实轴和虚轴分别为$z$和$y$坐标，这是在频域空间上的图，也称为频谱图。可能其分布如下(如下值是随机绘制的，不对应上图，假设存在这样的频谱图)。

令两个频率之间的距离为$\Delta \omega$，那么$\Delta \omega =(n+1){\omega }_0-n{\omega }_0={\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$，可以得到$\frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega }{2\pi }$。

当周期$T$趋近于$\infty$时，周期函数就变为了非周期函数${\lim }_{T\to \infty }{f}_T(t)=f(t)$，$\Delta \omega$就变成了0，从而离散函数变为了连续函数。

将$C_n$及$\frac{1}{T}$代入到傅里叶级数展开函数：

$$f_T(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }\frac{\Delta \omega }{2\pi }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-in{\omega }_{0}t}dt{e}^{in{\omega }_{0}t}$$

当$T\to \infty$时，令$n{\omega }_0=\omega$，${\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}dt\to {\int }_{-\infty }^{\infty }dt$，${\sum }_{-\infty }^{\infty }\Delta \omega \to {\int }_{-\infty }^{\infty }d\omega$。代入到上面的式子：

$$\underset{T\to \infty }{\lim }{f}_T(t)=f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt\right)e^{i\omega t}d\omega$$

中间括号括起来的部分就是傅里叶变换函数$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$，而$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(T)e^{i\omega t}d\omega$是傅里叶变换的逆变换。

---

总结

在Part1中，认识到三角函数系的正交性，有：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxcosmx=0\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxsinmx=0\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxcosmx=\{\begin{array}{cc}0,& m\ne n\\ 2\pi ,& m=n=0\\ \pi ,& m=n\ne 0\end{array}\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxcosmx=\{\begin{array}{cc}0,& m\ne n或m=n=0\\ \pi ,& m=n\ne 0\end{array}\end{array}$$

在Part2中，推导了$T=2\pi$的周期函数的傅里叶级数展开为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx\right)$$

计算$a_0$，对$f(x)$在区间$[-\pi ,\pi ]$之间积分，得到$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$。
计算$a_n$，等式两边同乘以$cosmx$，然后计算在$[-\pi ,\pi ]$之间的积分，得到$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx$。

计算$b_n$，等式两边同乘以$sinmx$，然后计算在$[-\pi ,\pi ]$之间的积分，得到$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx$。

在Part3中，推导了$T=2L$的周期函数的傅里叶级数展开为，令$x=\frac{\pi }{L}t\to t=\frac{L}{\pi }x$，将$x$代入Part2中的公式，得到：

$$\begin{array}{rl}& f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos\frac{n\pi }{L}t+b_{n}sin\frac{n\pi }{L}t\right)\\ & a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dt\\ & a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)cos\frac{n\pi }{L}tdt\\ & b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)sin\frac{n\pi }{L}dt\end{array}$$

在Part4中，使用欧拉公式，用复指数的形式得到周期为$T$的周期函数的傅里叶级数展开，该形式使得函数看起来更简洁，经过一系列变换，用$C_n$替代了上面复杂的系数，令${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$：

$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{in{\omega }_{0}t} \\ {C}_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in{\omega }_{0}t}dt \end{gathered}$$

在Part5中，从傅里叶级数展开函数推导出傅里叶变换及反变换函数。当周期$T$趋近于$\infty$时，周期函数会变为非周期函数，此时从离散数据变为了连续数据，令$\omega =n{\omega }_0$；又有${\sum }_{-\infty }^{\infty }{\omega }_0\to {\int }_{-\infty }^{\infty }d\omega$，${\int }_0^{T}dt\to {\int }_{-\infty }^{\infty }dt$，就得到非周期函数的傅里叶级数展开函数为：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt\right)e^{i\omega t}d\omega$$

中间括号部分就是傅里叶变换函数$F(\omega) = \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt $，而$f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty}F(\omega) e^{i \omega t} d \omega$是傅里叶变换的逆变换。