【C++】AVL树（平衡二叉树）

一、AVL树的定义

AVL树，全称 平衡二叉搜索（排序）树。

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

平衡因子（Balance Factor，简写为bf）
平衡因子（bf）：结点的左子树的深度减去右子树的深度。也可以是右子树的深度减去左子树的深度。看个人实现而异。

即： 结点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度。
或者 节点的平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度。

AVL树本质上是一颗二叉查找树，但是它又具有以下特点：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

这就是一颗AVL树

二、AVL树的作用

有一颗二叉树，他有n个节点，如果他是一颗二叉搜索树，他形状多样，可能会形成单枝树，高度为n,那么在这颗搜索树中查找元素的最坏时间复杂度为O(n),最好时间复杂度是O($lo{g}_{2}n$)。
如果他是一颗AVL树，他的高度稳定为$lo{g}_{2}n$,查找元素的时间复杂度为O($lo{g}_{2}n$)。
由上图可知，同样的结点，由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下，会导致二叉树的高度是O(N)，而AVL树就不会出现这种情况，树的高度始终是O(lgN).高度越小，对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。

三、AVL树的插入操作

插入——平衡因子的更新

在插入一个元素的时候，必然会引起平衡因子的变化，所以我们需要在插入的时候把平衡因子同时更新，在平衡因子大于1或者小于-1时，我们则需要进行旋转操作，进行调整，使平衡因子再次正常，从而保证这颗二叉树一直是一颗AVL树。
 
使用平衡因子计算： 右子树高度 - 左子树高度

情况一：

在插入元素后，需要更新父节点的平衡因子，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子-1，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子+1，如果父节点的平衡因子更新过后变为1或者-1，则需继续往上更新至根节点，因为1或者-1表示该节点的高度发生改变，需往上更新。

情况2：

在插入元素后，需要更新父节点的平衡因子，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子-1，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子+1，如果父节点的平衡因子更新过后变为0，则不需要继续向上更新，因为变为0只能说明该树高度没有变化，只是相对于原来变得平衡。

如果在更新平衡因子后，平衡因子不在(-1/0/1)范围时，则需旋转操作，下面讲解如何进行旋转操作

由于插入需要旋转的情况较多，大致可以分为四大类

插入——左单旋

动图演示

情况一
右子树高时，在右子树的右侧插入元素，此时需要左单旋

插入——右单旋

动图演示

情况二、
左子树较高时，在左子树的左侧插入元素，此时需要右单旋

插入——左右双旋

情况三、左子树较高时，在左子树的右侧插入元素，此时需要左右双旋，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋

插入——右左双旋

情况四、右子树较高时，在右子树的左侧插入元素，此时需要右左双旋，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋

四、ALVL树的验证

int _Height(Node* root)
{//用来计算二叉树的高度if (root == NULL)return 0;int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}bool _IsBalance(Node* root)
{if (root == NULL)return true;int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);//检查平衡因子if (rightH - leftH != root->_bf){cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;return false;}//通过计算左右子树的高度差判断这颗二叉树是否为AVL树return abs(leftH - rightH) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);//检查高度差要检查二叉树中所有节点的左右子树的高度差
}bool IsBalance()
{return _IsBalance(_root);
}

五、AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $lo{g}_{2}n$ 。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。