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【傅里叶级数与傅里叶变换】数学推导——2、[Part2：T = 2 π的周期函数的傅里叶级数展开] 及 [Part3：周期为2L的函数展开]

news 2025/12/17 1:22:32

文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频，本篇文章提供了一些基础知识点，比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。

文章全部链接：
基础知识点
Part1：三角函数系的正交性
Part2：T=2π的周期函数的傅里叶级数展开
Part3：周期为T=2L的函数展开
Part4：傅里叶级数的复数形式
Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
总结

文章目录

Part2： $\pi$ 的周期函数的傅里叶级数展开
Part3：周期为 $2 L$ 的函数展开

Part2： $\pi$ 的周期函数的傅里叶级数展开

假设周期 $\pi$ ，将一个周期函数展开为傅里叶级数如下：
$\begin{align} f(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} (a_n cos nx + b_n sin nx) = \frac{a_0} {2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n cos nx + b_n sin nx \right) & \end{align}$

计算函数中的相关系数 $a_0$ 、 $a_n$ 、 $b_n$ 。

第一步，求解 $a_0$ ，对 $f (x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 之间计算积分 $\int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx$ ，即为：
$\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} 1 dx + \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx dx +\int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx dx & \end{align}$
计算上式第2项
$\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_1^{\infty} a_n cos nx dx &= \int_{- \pi}^{\pi} a_1 cos x dx + \int_{- \pi}^{\pi} a_2 cos 2x dx + ... + \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx dx + ... \\ &= a_1 \int_{- \pi}^{\pi} cos x dx + a_2 \int_{- \pi}^{\pi} cos 2x dx + ... + a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx dx + ... & \end{align}$
根据三角函数的正交性， $\int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx dx = 0$

计算第3项

$\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_1^{\infty} b_n sin nx dx &= \int_{- \pi}^{\pi} b_1 sin x dx + \int_{- \pi}^{\pi} b_2 sin 2x dx + ... + \int_{- \pi}^{\pi} b_n sin nx dx + ... \\ &= b_1 \int_{- \pi}^{\pi} sin x dx + b_2 \int_{- \pi}^{\pi} sin 2x dx + ... + b_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx dx + ... &\end{align}$
根据三角函数正交性， $\int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx dx = 0$

那么 $\int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} 1 dx = \frac{a_0}{2} x|_{- \pi}^{\pi} = \frac{a_0}{2} 2 \pi = \pi a_0$ ，计算求得：

$\begin{align} & a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx & \end{align}$

第二步，计算 $a_n$ ，等号两边同时乘以 $cos m x$ ，然后在 $[-\pi, \pi]$ 区间内求积分。如下：

$\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos mx dx = \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cosmx dx + \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx + \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx cos mx dx & \end{align}$

计算第一项结果为0

$\begin{align} &\frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cosmx dx = \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cos 0x cosmx dx = 0 & \end{align}$

计算第二项

$\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx &= \int_{- \pi}^{\pi} a_1 cos x cos mx dx + \int_{- \pi}^{\pi} a_2 cos 2x cos mx dx + ... + \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx cos mx dx + ... \\ & = a_1 \int_{- \pi}^{\pi} cos x cos mx dx + a_2 \int_{- \pi}^{\pi} cos 2x cos mx dx + ... + a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx cos mx dx + ... & \end{align}$

当 $\ne n$ 时

$\begin{align} & a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx cos mx dx = 0 & \end{align}$

当 $m = n$ 时，根据三角函数平方公式可得 $\int_{- \pi}^{\pi} cos nx cos nx dx = \frac{1}{2} \left [\int_{- \pi}^{\pi}1dx + \int_{- \pi}^{\pi}cos 2nxdx \right] = \pi$ ，该项只会保留当 $m = n$ 时的结果，即：

$\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx = \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx cos nx dx = \pi a_n & \end{align}$

计算第三项

$\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx cos mx dx &= \int_{- \pi}^{\pi} a_1 sin x cos mx dx + \int_{- \pi}^{\pi} a_2 sin 2x cos mx dx + ... + \int_{- \pi}^{\pi} a_n sin nx cos mx dx + ... \\ & = a_1 \int_{- \pi}^{\pi} sin x cos mx dx + a_2 \int_{- \pi}^{\pi} sin 2x cos mx dx + ... + a_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx cos mx dx + ... & \end{align}$

由正交性可得第三项为0：

$\begin{align} &\int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx cos mx dx = 0 & \end{align}$

那么就有：

$\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos nx dx = \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx cos mx dx = \pi a_n \\ & \Rightarrow \\ & a_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos nx dx &\end{align}$

第三步，计算 $b_n$ ，等式两边乘以 $s inm x$ ，然后在区间 $[-\pi, \pi]$ 之间计算积分，如下：

$\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin mx dx = \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} sin mx dx + \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx sin mx dx + \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx & \end{align}$

计算第一项为0：

$\begin{align} &\frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} sin mx dx = \frac{a_0}{2} \int_{- \pi}^{\pi} cos 0x sin mx dx = 0 & \end{align}$

计算第二项为0：

$\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} a_n cos nx sin mx dx &= \int_{- \pi}^{\pi} a_1 cos x sin mx dx + \int_{- \pi}^{\pi} a_2 cos 2x sin mx dx + ... + \int_{- \pi}^{\pi} a_n cos nx sin mx dx + ... \\ & = a_1 \int_{- \pi}^{\pi} cos x sin mx dx + a_2 \int_{- \pi}^{\pi} cos 2x sin mx dx + ... + a_n \int_{- \pi}^{\pi} cos nx sin mx dx + ... \\ & = 0 & \end{align}$

计算第三项

$\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx &= \int_{- \pi}^{\pi} b_1 sin x sin mx dx + \int_{- \pi}^{\pi} b_2 sin 2x sin mx dx + ... + \int_{- \pi}^{\pi} b_n sin nx sin mx dx + ... \\ & = b_1 \int_{- \pi}^{\pi} sin x sin mx dx + b_2 \int_{- \pi}^{\pi} sin 2x sin mx dx + ... + b_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx sin mx dx + ... & \end{align}$

当 $\ne n$ 时

$\begin{align} & b_n \int_{- \pi}^{\pi} sin nx sin mx dx = 0 & \end{align}$

当 $m = n$ 时，根据三角函数平方公式可得 $\int_{- \pi}^{\pi} sin nx sin nx dx = \frac{1}{2} \left [\int_{- \pi}^{\pi}1dx - \int_{- \pi}^{\pi}cos 2nxdx \right] = \pi$ ，该项只会保留当 $m = n$ 时的结果，即：

$\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx = \int_{- \pi}^{\pi} b_n sin (nx) sin (nx) dx = \pi b_n & \end{align}$

那么就有：

$\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin nx dx = \int_{- \pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} b_n sin nx sin mx dx = \pi b_n \\ & \Rightarrow \\ & b_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin nx dx &\end{align}$

综上，可以得出，对于一个周期 $\pi$ 的周期函数，其傅里叶级数为：

$\begin{align} & f(x) = \frac{a_0} {2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n cos nx + b_n sin nx \right) \\ & 其中, \\ & a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{- \pi}^{\pi} f(x)dx \\ & a_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) cos nx dx \\ & b_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin nx dx &\end{align}$

Part3：周期为 $2 L$ 的函数展开

对于一个 $T = 2 L$ 的周期函数 $f (t) = f (t + 2 L)$ ，展开傅里叶级数。

换元法令 $\frac{\pi}{L} t$ ，那么 $\frac{L}{\pi} x$ ，代入到 $f (t)$

$\begin{align} & f(t) = f(\frac{L}{\pi}x) & \end{align}$

令 $f(\frac{L}{\pi}x)$ 。

有 $x$ 与 $t$ 、 $f (t) = g (x)$ 的换算关系可以得到：

$\Leftrightarrow x=-\pi) \Rightarrow f(-L) = g(-\pi)$

$\Leftrightarrow x=\pi) \Rightarrow f(L) = g(\pi)$

$\Leftrightarrow x= 3\pi) \Rightarrow f(3L) = g(3 \pi)$

$...$

因为 $f (t)$ 是一个周期为 $2 L$ 函数，有 $f (- L) = f (L) = f (3 L) ...$ ，那么就有 $g(-\pi) = g( \pi) = g(3 \pi)...$ ，可以看出 $g (x)$ 是一个周期为 $\pi$ 的周期函数。

展开 $g (x)$ 傅里叶级数为：

$\begin{align} & g(x) = \frac{a_0} {2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n cos nx + b_n sin nx \right) \\ & 其中, \\ & a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{- \pi}^{\pi} g(x)dx \\ & a_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} g(x) cos nx dx \\ & b_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} g(x) sin nx dx &\end{align}$

将 $\frac{\pi}{L}t$ 代入，有：

$\begin{align} cos nx & = cos \frac{n \pi}{L}t \\ sin nx & = sin \frac{n \pi}{L}t \\ g(x) & = f(t) \\ \int_{-\pi}^{\pi} dx & = \int_{-L}^{L} d \frac{\pi}{L}t = \frac{\pi}{L} \int_{-L}^{L}dt \\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} dx & = \frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} d \frac{\pi}{L}t = \frac{1}{\pi} \frac{\pi}{L} \int_{-L}^{L}dt = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L}dt \\ &\end{align}$

代入展开函数有：

$\begin{align} f(t) &= \frac{a_0} {2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n cos \frac{n \pi}{L}t + b_n sin \frac{n \pi}{L}t \right) \\ & 其中, \\ a_0 &= \frac{1}{L}\int_{- L}^{L} f(t)dx \\ a_n &= \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) cos \frac{n \pi}{L}t dx \\ b_n &= \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) sin \frac{n \pi}{L}t dx &\end{align}$

在工程中， $t$ 从 $0$ 开始，周期 $T = 2 L$ ，令 $\omega = \frac{\pi}{L} = \frac{2 \pi}{T}$ ，有 $\frac{\pi}{\omega}$

对于周期函数

$\begin{align} & \int_{-L}^{L} dt = \int_{0}^{2L} dt = \int_{0}^{T} dt &\end{align}$

代入上面的展开函数就得到，对于 $T = 2 L$ 的周期函数，其傅里叶级数展开如下：

$\begin{align} & f(t) = \frac{a_0} {2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t \right) \\ & 其中, \\ & a_0 = \frac{1}{L}\int_{- L}^{L} f(t)dx \\ & a_n = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) cos n \omega t dx \\ & b_n = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) sin n \omega t dx &\end{align}$

原视频博主提供了一个示例，计算如下图所示的周期函数的傅里叶展开。

傅里叶级数展开示例

解：

由上图知道周期 $T = 2 L = 20$ ，令 $\omega = \frac{\pi} {L} = \frac{\pi}{10}$ 。根据上面得到的结论，上图的傅里叶级数展开函数为：
$\begin{align} f(t) &= \frac{a_0} {2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t \right) & ，其中L=10 \\ a_0 &= \frac{1}{L}\int_{- L}^{L} f(t)dx \\ a_n &= \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) cos n \omega t dx \\ b_n &= \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f(t) sin n \omega t dx &\end{align}$
代入图示函数计算：
$\begin{align} a_0 &= \frac{1}{10} \left[ \int_{0}^{10} 7dx + \int_{0}^{10} 3dx \right] \\ & = \frac{1}{10} \left[ 7 \cdot (10-0) + 3 \cdot (20-10) \right] \\ & = 10 \end{align}$

$\begin{align} a_n & = \frac{1}{10} \left[ \int_{0}^{10} 7 cos n \omega t dx + \int_{10}^{20} 3 cos n \omega t dx \right] \\ & = \frac{1}{10} \left[ \frac{7}{n \omega} sin n \omega t |_{0}^{10} + \frac{3}{n\omega} sin n \omega t |_{10}^{20} \right] \\ & = \frac{1}{n \pi} \left[ 7 ( sin n \pi - sin 0) + 3 (sin 2n \pi - sin n \pi) \right] \\ & = 0 \end{align}$

$\begin{align} b_n & = \frac{1}{10} \left[ \int_{0}^{10} 7 sin n \omega t dx + \int_{10}^{20} 3 sin n \omega t dx \right] \\ & = \frac{1}{10} \left[ - \frac{7}{n \omega} cos n \omega t |_{0}^{10}- \frac{3}{n\omega} cos n \omega t |_{10}^{20} \right] \\ & = - \frac{1}{n \pi} \left[ 7 ( cos n \pi - cos 0) + 3 (cos 2n \pi - cos n \pi )\right] \\ & = \frac{4}{n \pi} \left[ 1 - cos n \pi \right] \end{align}$

当 $n$ 是奇数时， $\pi = -1$ ，此时 $b_n = \frac{8}{n \pi}$ ；

当 $n$ 是偶数时， $\pi = 1$ ，此时 $b_n = 0$ ；

最后，图示函数的傅里叶级数展开为：
$\begin{align} F(t) = \left\{\begin{matrix} 5 + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{8}{n \pi} sin \frac{n \pi}{10} t)，& n=2k+1,k \in z \\ 5 , & n=2k,k \in z \end{matrix}\right. \end{align}$
从展开函数中可以发现，当 $n$ 越大时， $\frac{8}{n \pi}$ 越小， $\frac{n \pi}{10}$ 越大即频率越高。现在取 $n = 1, 3, 5$ ，得到每个频率分量分别为：
$\begin{align} n =1时为 \frac{8}{ \pi} sin \frac{ \pi}{10} t； \\ n = 3 时为 \frac{8}{3 \pi} sin \frac{3 \pi}{10} t； \\ n = 5 时为 \frac{8}{5 \pi} sin \frac{5 \pi}{10} t； \\ \end{align}$
这三个频率以及它们叠加后的图示如下，可以发现，频率越大，其振幅越小，叠加后的变化大致与给定示意图一致。

在这里插入图片描述

【傅里叶级数与傅里叶变换】数学推导——2、[Part2：T = 2 π的周期函数的傅里叶级数展开] 及 [Part3：周期为2L的函数展开]

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Part2： $\pi$ 的周期函数的傅里叶级数展开

Part3：周期为 $2 L$ 的函数展开

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