自然对数底e的一些事

自然对数底e的一些事

走的人多了就成了路

中国清代数学家李善兰（1811—1882）

凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数

自然对数底也是使用习惯

🍉 李善兰把function翻译为函数，函就是包含，含有变量，自此沿用至今，同时函数又以f开头，所以f g h 三个字母又常用于函数名，而 a b c d 常代表任意常数。而e因为欧拉指代自然对数的底，也就成了今天这个样子。

莱布尼茨(Leibniz)研究此领域时使用字母b

欧拉研究此领域用了字母e，并非欧拉 (Euler. leonhard) 首字母。自此一个伟大的极限就诞生了。

$$\begin{array}{r}e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n\end{array}$$

如果发现一处通用的模块或者功能，我们就为它起个名字，这就是伟大发现或者发明。

高斯

当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净

有时候就因为这个习惯，感觉就像是天才的傀儡，他们为啥有这样的天才想法，书本里也从来不说，甚至连过程都没有。

如下是实数也成立的证明

应用拉格朗日的夹逼准则

设 $n⩽x<n+1$ 那么

$$(1+\frac{1}{x}{)}^n⩽(1+\frac{1}{x}{)}^x<(1+\frac{1}{x}{)}^{n+1}\text{\hspace{1em}(步骤A)}$$

上式左侧缩小就可以去除等号，右侧放大也依然成立

$$\begin{array}{rl}& \boxed{(1+\frac{1}{x}{)}^n}\stackrel{用n+1替换x}{\Rightarrow }\boxed{(1+\frac{1}{n+1}{)}^n}\\ & \boxed{(1+\frac{1}{x}{)}^{n+1}}\stackrel{用n替换x}{\Rightarrow }\boxed{(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}}\end{array}$$

那么步骤A变成了

$$(1+\frac{1}{n+1}{)}^n<(1+\frac{1}{x}{)}^x<(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}\text{\hspace{1em}(步骤B)}$$

左右两侧如果都是e，通过拉格朗日夹逼准则就证明了正实数也是e

$$\begin{array}{rlrlrlr}& \underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n+1}{)}^n& & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}& & & =e\\ & \underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}& & =\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n(1+\frac{1}{n})& & & =e\end{array}$$

x趋向于正无穷得证

$$\begin{array}{r}\boxed{e=\underset{x\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x}\end{array}$$

设$x=-(t+1),那么x\to -\infty ,则t\to \infty$

$$\begin{array}{rl}& \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x& =\underset{t\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{t+1}{)}^{-(t+1)}=\underset{t\to \infty }{\lim }(\frac{t}{t+1}{)}^{-(t+1)}\\ & =\underset{t\to \infty }{\lim }(\frac{t+1}{t}{)}^{(t+1)}=\underset{t\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{t}{)}^{(t+1)}\\ & =\underset{t\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{t}{)}^t(1+\frac{1}{t})\\ & =e\end{array}$$

至此实数公式得证

$$\begin{array}{r}\boxed{e=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x}\end{array}$$

为什么要创造$ln$函数？

$lo{g}_{a}x$ 如果进行抽象就是算子[自变量]，算子就是$lo{g}_a[]$ 那么a代表任意常数，如果用一个确定的$e$似乎曲解了原意，$lo{g}_e[]e$ 并不是代表任意常数。

$lo{g}_e[]$ 也不够简洁， $ln$ 就制造出来了，通用功能给起个名字就是创造。

logarithm 与 nature 各取首字母就成了新的算子 $ln[]$