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自然对数底e的一些事

news 2025/7/8 13:57:51

自然对数底e的一些事

走的人多了就成了路

中国清代数学家李善兰（1811—1882）

凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数

自然对数底也是使用习惯

🍉 李善兰把function翻译为函数，函就是包含，含有变量，自此沿用至今，同时函数又以f开头，所以f g h 三个字母又常用于函数名，而 a b c d 常代表任意常数。而e因为欧拉指代自然对数的底，也就成了今天这个样子。

在这里插入图片描述

莱布尼茨(Leibniz)研究此领域时使用字母b

在这里插入图片描述

欧拉研究此领域用了字母e，并非欧拉 (Euler. leonhard) 首字母。自此一个伟大的极限就诞生了。

$\LARGE \begin{aligned} e=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \end{aligned}$

如果发现一处通用的模块或者功能，我们就为它起个名字，这就是伟大发现或者发明。

高斯

当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净

有时候就因为这个习惯，感觉就像是天才的傀儡，他们为啥有这样的天才想法，书本里也从来不说，甚至连过程都没有。

如下是实数也成立的证明

应用拉格朗日的夹逼准则

设 $n\leqslant x \lt {n+1}$ 那么

$\large (1+\dfrac{1}{x})^n \leqslant (1+\dfrac{1}{x})^x \lt (1+\dfrac{1}{x})^{n+1}\tag{步骤A}$

上式左侧缩小就可以去除等号，右侧放大也依然成立

$\LARGE \begin{aligned} &\boxed{(1+\dfrac{1}{x})^n }\xRightarrow{用n+1替换x}\boxed{(1+\dfrac{1}{n+1})^n } \\ &\boxed{(1+\dfrac{1}{x})^{n+1} }\xRightarrow{用n替换x}\boxed{(1+\dfrac{1}{n})^{n+1} } \end{aligned}$

那么步骤A变成了

$\large (1+\dfrac{1}{n+1})^n \lt (1+\dfrac{1}{x})^x \lt (1+\dfrac{1}{n})^{n+1}\tag{步骤B}$

左右两侧如果都是e，通过拉格朗日夹逼准则就证明了正实数也是e

$\LARGE \begin{aligned} &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n+1})^n &&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}&&&=e\\ &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n+1} &&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} (1+\dfrac{1}{n})&&&=e \end{aligned}$

x趋向于正无穷得证

$\LARGE \begin{aligned} \boxed{e=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(1+\dfrac{1}{x})^{x}} \end{aligned}$

设 $x=-(t+1),那么x\rightarrow -\infty,则\, t\rightarrow\infty$

$\LARGE \begin{aligned} \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(1+\dfrac{1}{x})^x &= \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1-\dfrac{1}{t+1})^{-(t+1)} = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(\dfrac{t}{t+1})^{-(t+1)}\\ &= \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(\dfrac{t+1}{t})^{(t+1)}=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{t})^{(t+1)}\\ &=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{t})^t(1+\dfrac{1}{t})\\ &=e \end{aligned}$

至此实数公式得证

$\LARGE \begin{aligned} \fcolorbox{#ffae42}{#2E8B57}{\textcolor{White}{$e=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{x})^{x}$}} \end{aligned}$

为什么要创造 $l n$ 函数？

$log_ax$ 如果进行抽象就是算子[自变量]，算子就是 $log_a[\quad]$ 那么a代表任意常数，如果用一个确定的 $e$ 似乎曲解了原意， $log_e[\quad] \quad e$ 并不是代表任意常数。

$log_e[\quad]$ 也不够简洁， $l n$ 就制造出来了，通用功能给起个名字就是创造。

logarithm 与 nature 各取首字母就成了新的算子 $ln[\quad]$

自然对数底e的一些事

走的人多了就成了路

凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数

自然对数底也是使用习惯

当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净

如下是实数也成立的证明

设 n ⩽ x < n + 1 n\leqslant x \lt {n+1} n⩽x<n+1 那么

上式左侧缩小就可以去除等号，右侧放大也依然成立

那么步骤A变成了

左右两侧如果都是e，通过拉格朗日夹逼准则就证明了正实数也是e

x趋向于正无穷得证

设 x = − ( t + 1 ) , 那么 x → − ∞ , 则 t → ∞ x=-(t+1),那么x\rightarrow -\infty,则\, t\rightarrow\infty x=−(t+1),那么x→−∞,则t→∞

至此实数公式得证

为什么要创造 l n ln ln函数？

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设 $n\leqslant x \lt {n+1}$ 那么

设 $x=-(t+1),那么x\rightarrow -\infty,则\, t\rightarrow\infty$

为什么要创造 $l n$ 函数？