神经网络的工作原理

目录

神经网络的介绍

神经网络的组成

神经网络的工作原理

Numpy 实现神经元

Numpy 实现前向传播

Numpy 实现一个可学习的神经网络

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神经网络的介绍

神经网络受人类大脑启发的算法。简单来说，当你睁开眼睛时，你看到的物体叫做数据，再由你大脑中处理数据的 Nuerons（细胞）操作，识别出你所看到的物体，这是神经网络的工作过程。人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN），它们不像你大脑中的神经元一样操作，而是模拟神经网络的性质和功能。

神经网络的组成

人工神经网络由大量高度相互关联的处理单元（神经元）协同工作来解决特定问题。首先介绍一种名为感知机的神经元。感知机接收若干个输入，每个输入对应一个权重值（可以看成常数），用它们做一些数学运算，然后产生一个输出。

接下来用形象化的例子解释感知机，假设有一个计划，周末去徒步，影响计划是否进行的因素有这些：

（1）周末是否加班；
（2）周末的天气是否恶劣；
（3）往返徒步地点是否方便；

对于不同人，三个因素的影响效果也不一样，如果 输入（2）对于你来说影响非常大，这样就设置的权重值就大，反之权重值就小。

再将输入二值化，对于天气不恶劣，设置为 1（），对于天气恶劣，设置为 0（），天气的影响程度通过权重值体现，设置为 10（）。同样设置输入（1）的权值为 8（），输入（3）的权重值为 1（）。输出二值化是去徒步为 1（），不去为 0（）。

假设对于感知机，如果  的结果大于某阈值（如 5），表示去徒步 ，随机调整权重，感知机的结果会不一样。

一个典型的神经网络有成百上千个神经元（感知机），排成一列的神经元也称为单元或是层，每一列的神经元会连接左右两边的神经元。感知机有输入和输出，对于神经网络是有输入单元与输出单元，在输入单元和输出单元之间是一层或多层称为隐藏单元。一个单元和另一个单元之间的联系用权重表示，权重可以是正数（如一个单元激发另一个单元） ，也可以是负数（如一个单元抑制或抑制另一个单元）。权重越高，一个单位对另一个单位的影响就越大。

神经网络的工作原理

神经网络的工作大致可分为前向传播和反向传播，类比人们学习的过程，

前向传播如读书期间，学生认真学习知识点，进行考试，获得自己对知识点的掌握程度；

反向传播是学生获得考试成绩作为反馈，调整学习的侧重点。

以下展示了 2 个输入和 2 个输出的神经网络：

大多数真实世界的数据是非线性的，我们希望神经元学习这些非线性表示，可以通过激活函数将非线性引入神经元。例如徒步例子中的阈值，激活函数 ReLU（Rectified Linear Activation Function）的阈值为 0，对于大于 0 的输入，输出为输入值，对于小于 0 的输入值，输出为 0，公式和图像表示如下：

 

这里扩展一下，激活函数有很多种，例如常用的 sigmoid 激活函数，只输出范围内的数字 ，它将无界输入转换为具有良好、可预测的输出形式，sigmoid 函数的公式和图像如下。

 

加入 ReLU 激活函数的神经网络如下图所示：

 

加入 SoftMax 函数的神经网络如下图所示：

获得神经网络的输出值 (0.98, 0.02) 之后，与真实值 (1, 0) 比较，非常接近，仍然需要与真实值比较，计算差距（也称误差，用  e表示），就跟摸底考试一样，查看学习的掌握程度，同样神经网络也要学习，让输出结果无限接近真实值，也就需要调整权重值，这里就需要反向传播了。

在反向传播过程中需要依据误差值来调整权重值，可以看成参数优化过程，简要过程是，先初始化权重值，再增加或减少权重值，查看误差是否最小，变小继续上一步相同操作，变大则上一步相反操作，调整权重后查看误差值，直至误差值变小且浮动不大。

 

斜率的大小表明变化的速率，意思是当斜率比较大的情况下，权重  变化所引起的结果变化也大。把这个概念引入求最小化的问题上，以权重导数乘以一个系数作为权重更新的数值，这个系数我们叫它学习率(learning rate)，这个系数能在一定程度上控制权重自我更新，权重改变的方向与梯度方向相反，如下图所示，权重的更新公式如下：

 

 

import numpy as npdef mse-loss(y_true, y_pred):# y_true and y_pred are numpy arrays of the same length.return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()y_true = np.array([1, 0, 0, 1])
y_pred = np.array([0, 0, 0, 0])print(mse_loss(y_true, y_pred)) # 0.5

Numpy 实现神经元

以上介绍了神经网络的基本结构及数学原理，为了方便大家理解，参数围绕着 ，后续继续深入学习，便遇到  参数（称为偏差），神经元会有以下这样的形式。

 

Python 代码实现如下：

import numpy as npdef sigmoid(x):# Our activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))return 1 / (1 + np.exp(-x))class Neuron:def __init__(self, weights, bias):self.weights = weightsself.bias = biasdef feedforward(self, inputs):# Weight inputs, add bias, then use the activation functiontotal = np.dot(self.weights, inputs) + self.biasreturn sigmoid(total)weights = np.array([0, 1]) # w1 = 0, w2 = 1
bias = 4                   # b = 4
n = Neuron(weights, bias)x = np.array([2, 3])       # x1 = 2, x2 = 3
print(n.feedforward(x))    # 0.9990889488055994

Numpy 实现前向传播

同样在神经网络中，如下图所示，这个网络有 2 个输入，一个隐藏层有 2 个神经元（ 和 ），和一个有 1 个神经元的输出层（）。

输出如下：

 

Python 代码实现如下：

import numpy as npclass OurNeuralNetwork:'''A neural network with:- 2 inputs- a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)- an output layer with 1 neuron (o1)Each neuron has the same weights and bias:- w = [0, 1]- b = 0'''def __init__(self):weights = np.array([0, 1])bias = 0# The Neuron class here is from the previous sectionself.h1 = Neuron(weights, bias)self.h2 = Neuron(weights, bias)self.o1 = Neuron(weights, bias)def feedforward(self, x):out_h1 = self.h1.feedforward(x)out_h2 = self.h2.feedforward(x)# The inputs for o1 are the outputs from h1 and h2out_o1 = self.o1.feedforward(np.array([out_h1, out_h2]))return out_o1network = OurNeuralNetwork()
x = np.array([2, 3])
print(network.feedforward(x)) # 0.7216325609518421

Numpy 实现一个可学习的神经网络

终于到了实现一个完整的神经网络的时候了，把参数全安排上，别吓着了~

现在有一个明确的目标：最小化神经网络的损，将损失写成多变量函数，其中 。

变量多的时候，求其中一个变量的导数时，成为求偏导数，接下来求  的偏导数，公式如下：

橙色框的内容关于损失函数可以直接得到：

绿色框的内容，继续分析 :

 只影响  不影响 ，绿色框的内容拆解为：

最终关于 的偏导数，公式如下：

为了便于大家理解，将公式放在一起，请查阅~

这里会对 sigmoid 函数求导，求导的结果如下：

获得偏导数后，回忆一下参数的更新公式：

学习率偏导数

• 如果偏导数为正，则参数减少；

• 如果偏导数为负，则参数增加。

如果我们对网络中的每个权重和偏差都这样做，损失将慢慢减少。

整个过程如下：

• 1.从我们的数据集中选择一个样本，进行操作

• 2.计算损失中关于权重和偏差的偏导数

• 3.使用更新公式更新每个权重和偏差

• 4.回到步骤1