【考研数学】线形代数第三章——向量 | 3）向量组秩的性质、向量空间、过渡矩阵

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引言

紧接前文学习完向量组秩的基本概念后，继续往后学习向量的内容。

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三、向量组等价、向量组的极大线性无关组与秩

3.2 向量组秩的性质

性质 1（三秩相等） —— 设 $A=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n{)}^T$ ，其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 与 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 分别为矩阵 $A$ 的行向量组和列向量组，则矩阵 $A$ 的秩、$A$ 的行向量组的秩、$A$ 的列向量组的秩相等。

性质 2 —— 设 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 与 $B:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 为两个维数相同的向量组，若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则向量组 $A$ 的秩不超过向量组 $B$ 的秩。

性质 3 —— 等价的向量组秩相等，反之不对。

1，设向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 与 $B:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 的秩相等，且向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价。
2，设向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 可由 $B:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 线性表示，但向量组 $A$ 不可由向量组 $B$ 线性表示，则向量组 $A$ 的秩小于向量组 $B$ 。
3，两个等价的向量组，各自构成的矩阵也等价，但反之不一定。

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四、$n$ 维向量空间

4.1 基本概念

$n$ 维向量空间 —— 所有 $n$ 维向量连同向量的加法及数与向量的乘法运算称为 $n$ 维向量空间，记为 $R^n.$

基 —— 设 $R^n$ 为 $n$ 维向量空间，设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 为向量空间中的 $n$ 个向量，若满足：
（1）${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关；
（2）对任意的 $\beta \in R^n,\beta$ 都可由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示，
称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 为 $n$ 维向量空间 $R^n$ 的基。
特别地，若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 两两正交，且都是单位向量，称其为正交规范基。

向量在基下的坐标 —— 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 为 $R^n$ 的基，$\beta \in R^n$ ，若 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n$ ，称 $(k_1,k_2,\dots ,k_n)$ 为向量 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 下的坐标。

过渡矩阵 —— 由一组基变换为另一组基，可乘上一个矩阵，该矩阵称为过渡矩阵。

需要一些直观印象，才能更好理解向量空间。首先应理解的是，一个矩阵就代表一种变换。

4.2 基本性质

定理 1 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 为 $n$ 维向量空间 $R^n$ 的基，$\beta \in R^n$ ，令 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$ ，则向量 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 下的坐标为 $X=A^{-1}\beta .$

定理 2 —— 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 与 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 为向量空间 $R^n$ 的两个基，令 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),B=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)$ ，则从基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵为 $Q=A^{-1}B.$

定理 3 —— 从基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵与从基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 到基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 到的过渡矩阵互为逆矩阵。

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写在最后

到此，向量的理论部分就结束了。矩阵、向量、方程组三者的联系最近会总结发出来的。