线性代数的学习和整理13: 定义域，值域，到达域 和单射，满射，双射，反函数，逆矩阵

目录

1 函数与 向量/矩阵

2 初等数学的函数

2.1 函数

2.2 函数的定义：定义域  →映射→  值域

3  高等数学里的函数：定义域和陪域/到达域（非值域）的映射关系

3.1 函数

3.2 单射，满射，双射等都是针对定义域 和 陪域的

3.3 易错地方：值域较小且是被决定的

3.4 单射，满射，双射

4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵

4.1 函数和反函数

4.2 矩阵和逆矩阵 （待完善）

---

1 函数与 向量/矩阵

下面两者形式类似，本质也类似

• 函数的：  ax=y    ，常规函数里，a,x,y 一般都是单个数
• 矩阵：     AX=Y  ， 矩阵乘法，这里 A,x,y 一般都是向量/矩阵
• 线性代数，就是处理 数组和矩阵（数组的数组）的学科

2 初等数学的函数

2.1 函数

形如  ax=y=f(x)的就是函数

• 自变量 input：x ，原像
• 因变量 output：y=f(x) ，像
• 函数/变化规则/映射法则 function ：f
• 定义域domain： 自变量x的取值范围就是定义域，集合x
• 值域 range：      因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合？

2.2 函数的定义：定义域  →映射→  值域

从映射的角度来看，定义域，值域

• 函数定义域里的每个值x，必须有且只有一个值y与之对应

1. 每个x不能是0个y对应
2. 每个x都必须对应1个y
3. 每个x不能对应多个y

• 函数值域里的每个值y，必须有一个定义域的x与之对应

1. 每个y都有1个x对应
2. 有的y可能都多个x对应到它

如果从图形上来说

• 函数f(x) 是从定义域 → 值域
• 下面定义域里打叉×的点都是错的
• 下面值域里打叉×的点都是错的

3  高等数学里的函数：定义域和陪域/到达域（非值域）的映射关系

3.1 函数

形如  ax=y=f(x)的就是函数

• 自变量 input：x ，原像
• 因变量 output：y=f(x) ，像
• 函数/变化规则/映射法则 function ：f
• 定义域domain： 自变量x的取值范围就是定义域，集合x
• 值域 range：      因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合？
• 陪域/ 到达域codomain ：因变量f(x)=y 可能的范围，集合y

3.2 单射，满射，双射等都是针对定义域 和 陪域的

• 理清概念
• 这个只针对 定义域 →  陪域/到达域
• 不针对       定义域 →  值域
• 就这么简单粗暴
• 前面的函数的映射定义，可能算初等数学的把
• 这个加入了 陪域/到达域的映射定义，可能算高等函数的把

3.3 易错地方：值域较小且是被决定的

• 定义域，值域取值范围都选 R 或者 R+
• 而值域，一般不存在选范围的问题，因为是同感 y=f(x) 一一映射决定的，一般肯定都是R的一个较小的子集！！

比如提前一个例题

• 为什么y=x^2 不是满射，因为都是针对 定义域 R→  陪域/到达域R，而值域是R+，因此不是满射

3.4 单射，满射，双射

• 非函数：  定义域里有的x对应了多个y，这种情况还是非函数
• 单射：     定义域里的每个x 都有唯一的y对应。（但是有的y可能没有x对应）
• 非单射： 定义域里的每个x 都有y对应，但是可能对应相同的y
• 满射：     到达域里（非值域）的每个y 都有x对应 （但是有的y可能对应的2个x）
• 非满射： 到达域里（非值域）不是每个y 都有x对应，有些y值没有x映射
• 特例
• 双射：    定义域中的x 和值域中y 分别一一对应
• 双射的意义，只有满秩的双射矩阵，一定可逆矩阵(见下面)

1. 单射非满射：   普通单射，只单射，不满射
2. 单射&满射：    双射
3. 非单射&满射：
4. 非单射&非满射：

4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵

双射的意义，只有满秩的双射矩阵，一定可逆矩阵(见下面)

• 普通函数，直接让y 映射到x，很可能就不是函数
• 下面图可以看到，直接让y 映射到x，很可能1个y会映射多个x，这样就不是函数

4.1 函数和反函数

如果一个函数 y=f(x)=ax 反过来 x=f(y)

• 如果x和y调换，如果不是满射，反过来就不是单射，函数就不存在反函数
• 所以 函数必须是 双射，这个函数才会有反函数。
• 双射的函数，一定有反函数，见下图

4.2 矩阵和逆矩阵 （待完善）

• 同理，矩阵必须是满秩的，才会有逆矩阵
• 详细的需要写