数学建模：TOPSIS分析

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TOPSIS分析法

算法流程

1. 假设有m个评价对象，n个评价指标，首先需要进行指标的正向化：
   1. 极大型
   2. 极小型
   3. 单点型
   4. 区间型
2. 然后对正向化后的矩阵进行标准化，得到$Z$ 矩阵：假设$X$ 为正向化后的矩阵，则 $Z$ 是标准化后的矩阵：

$$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{11}& ...& x_{1n}\\ x_{21}& x_{22}& ...& x_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{m1}& x_{m2}& ...& x_{mn}\end{array}\right];$$

$$Z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$$

1. 得到标准化后的矩阵后，我们要进行打分：计算出第$i$个评价对象与最大值的距离 $D_i^{+}$ ，和最小值的距离 $D_i^{-}$
   1. 计算带组合权重的 TOPSIS 分析法还需要 $D_i^{+}$ $D_i^{-}$ 分别再乘以权重$W$
      然后再开方。

$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{11}& ...& z_{1n}\\ z_{21}& z_{22}& ...& z_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{m1}& z_{m2}& ...& z_{mn}\end{array}\right];$$

$$最大值(z_1^{+},z_2^{+}...z_n^{+})=\left(\max \left\{\begin{array}{c}{z}_{11},z_{21},...,z_{m1}\end{array}\right\},\max \left\{\begin{array}{c}{z}_{12},z_{22},...,z_{m2}\end{array}\right\},...,\max \left\{\begin{array}{c}{z}_{1n},z_{2n},...,z_{mn}\end{array}\right\}\right)|$$

$$最小值(z_1^{-},z_2^{-}...z_n^{-})=\left(\min \left\{\begin{array}{c}{z}_{11},z_{21},...,z_{m1}\end{array}\right\},\min \left\{\begin{array}{c}{z}_{12},z_{22},...,z_{m2}\end{array}\right\},...,\min \left\{\begin{array}{c}{z}_{1n},z_{2n},...,z_{mn}\end{array}\right\}\right)|$$

$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}$$

$${\mathcal{D}}_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$$

1. 计算出第$i$ 个评价对象未归一化后的得分： $S_i$ ，很明显 $0<=S_i<=1$，且 $S_i$ 越大 $D_i^{+}$ 越小，越接近最大值。

$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

1. 计算归一化后的得分：即每分数除以所有分数之和：

$$stand\_S=\frac{S_i}{{\sum }_{i=1}^n{S}_i}$$

程序代码

function [score]=mfunc_TOPSIS(data,W)  % TOPSIS方法：求解每个对象的综合评价得分% paramts: %      data: 原始数据矩阵,(m,n) m为评价对象，n为评价指标%      W: 每个指标的初始权重% returns:%      Score：每个评价对象的综合得分%X输入的数据，W各指标的权重[n,~]=size(data);%Z=zscore(X);Z = data ./ repmat(sum(data.*data) .^ 0.5, n, 1); %矩阵标准化V_D = sum(((Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ) .* repmat(W,n,1) ,2) .^ 0.5; V_X = sum(((Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ) .* repmat(W,n,1) ,2) .^ 0.5; S = V_X ./ (V_D+V_X); %未归一化得分Score_S = S / sum(S); %归一化得分,即为每个企业的投资风险评分，值越大，投资风险也越大% score=Score_S;score=100*Score_S/max(Score_S);
end