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连续时间信号与离散时间信号

《信号与系统》是一门很难的课,也是许多学校考研要考的专业课,由于每周只有两节课,所以每次上完都要及时的去复习,这里参考的教材是奥本海姆著作,刘海棠译,北京:电子工业出版社,2013年。

信号类型的区分

  • 确定信号与随机信号

确定信号:若被表示为一确定的时间函数,知道某一时间即可得知当前的信号信息。

随机信号:带有随机的特点,无法预测,不能用函数表示,只能用概率统计的方法描述的信号。

  • 连续信号与离散信号

连续信号:连续时间范围内有定义的信号,自变量用t表示。

离散信号:在时间上表示离散,仅能用整数表示,自变量用n表示。 

在连续信号的情况下,对于1欧姆的电阻上,不管是电压信号u(t)还是电流信号i(t),都将其定义为x(t),则其瞬间功率为|x(t)|^{2}

能量: E= \int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt

T \to \inftyE= \lim_{T \to \infty}\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt

平均功率:P= \lim\limits_{T \to+\infty}\frac{1}{2T}\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt

那么对于离散信号

能量:E= \lim\limits_{N \to+\infty}\sum ^{N}_{n=-N}|x[n]|^{2}

平均功率:P= \lim\limits_{N \to+\infty}\frac{1}{2N+1}\sum ^{N}_{n=-N}|x[n]|^{2}

  • 能量信号与功率信号

能量:E= \lim_{T \to \infty}\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt       平均功率:P= \lim\limits_{T \to+\infty}\frac{1}{2T}\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt

可以看出P= \lim\limits_{T \to+\infty}\frac{E_{\infty}}{2T}

P\to 0,0<E<\infty,则将x(t)或x[n]称为能量信号(E<\infty,p=0,E有界)。

E\to \infty,0<P<\infty,则将x(t)或x[n]称为功率信号(P<\infty,E=\infty,P有界)。

可以这样理解,当信号具有有限的能量,即E_{\infty},这种信号的平均功率必为0;第二种信号就是其平均功率P_{\infty}有限的信号,如果P_{\infty}>0,必有E_{\infty}=\infty,因为如果单位时间内有某一个非零的平均功率,在无限积分或求和就必然得出无限大的能量值。

第三类信号就是P_{\infty}E_{\infty}都不是有限的。

如果这样说还是不能理解,那么就举些例子,比如信号在0\leq t\leq 1内为1,在此区间外为0就是有限能量信号的另一个例子,此时E_{\infty}=1,P_{\infty}=0,例如常数x[n]=4就具有无限能量,但是平均功率P_{\infty}=16,在看信号x(t)=t,P_{\infty}E_{\infty}都不是有限的。


总结:它们有下面的这几种组合

有限能量+零功率---->能量信号

代表波形:孤零零的方波、极限值为0的波形

无穷能量+有限功率--->功率信号

代表波形:一个无限延伸的正弦波、无线长的白噪声

无穷能量+无穷功率--->非功非能信号

代表波形:无限延伸的单调波形

  • 周期信号与非周期信号

连续周期信号:一个连续信号x(t),若对所有t均有:x(t)=x(t+kT),k为整数。满足这个式子的最小周期为基波周期,用T0来表示。

离散周期信号:一个离散信号x[n],若对所有n均有:x[n]=x[n+mN],m为整数。满足这个式子的最小周期为基波周期,用N0来表示。

  • 连续时间和离散时间信号

对于信号的组合,它的周期性判断以及基波周期的求解:

(1)连续信号

x_{1}\to T_{1},x_{2}\to T_{2},若\frac{T_{1}}{T_{2}}有理数

Ax_{1}\(t)\pm Bx _{2}\(t)\是周期的,其基波周期:T0=LCM(T_{1},T_{2}),LCM最小公倍数。

(2)离散信号

x_{1}[N]\to N_{1},x_{2}[N]\to N_{2}

Ax_{1}\[n]\pm Bx _{2}\[n]\一定是周期的,其基波周期为:N0=LCM(N_{1},N_{2})。

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