【算法基础】(一)基础算法 --- 前缀和与差分

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🎄一. 前缀和（一维）

输入一个长度为 n 的整数序列。
 
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
 
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式：

第一行包含两个整数 n 和 m。
 
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
 
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式：

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围：

1 ≤ l ≤ r ≤n,
 
1 ≤ n,m ≤ 100000,
 
−1000 ≤ 数列中元素的值 ≤ 1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

思路：

• 数组 a[1] + a[2] + … + a[i]，对于某一个区间[l,r]的和就是s[r]-s[l-1]
• 考虑边界统一问题可以让 s[0] = 0 统一格式，但是我们题解可以让边界从角标 1 开始，有效避免让 s[0] = 0 来单独处理

题解：

1. 把数都遍历到数组里

Scanner scan  = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
int[] a = new int[n+1];
int[] s = new int[n+1];
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){a[i] = scan.nextInt();
}

2. 前 n 项数组和

for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){s[i] = s[i-1] + a[i];
}

3. 根据规律某一个区间[l,r]的和就是s[r]-s[l-1]

while(m-- > 0){int l = scan.nextInt();int r = scan.nextInt();System.out.println(s[r] - s[l-1]);
}

 
附上总的代码

import java.util.Scanner;
public static void main(String[] args){Scanner scan  = new Scanner(System.in);int n = scan.nextInt();int m = scan.nextInt();int[] a = new int[n+1];int[] s = new int[n+1];for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){a[i] = scan.nextInt();}for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){s[i] = s[i-1] + a[i];}while(m-- > 0){int l = scan.nextInt();int r = scan.nextInt();System.out.println(s[r] - s[l-1]);}
}

 

🌲二. 子矩阵的和（二维）

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
 
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式：

第一行包含三个整数 n，m，q。
 
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
 
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式：

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围：

1 ≤ n,m ≤1000,
 
1 ≤ q ≤ 200000,
 
1 ≤ x1 ≤ x2 ≤n,
 
1 ≤ y1 ≤ y2 ≤m,
 
−1000 ≤ 矩阵内元素的值 ≤ 1000

输入样例：

3 4 3
 
1 7 2 4
 
3 6 2 8
 
2 1 2 3
 
1 1 2 2
 
2 1 3 4
 
1 3 3 4

输出样例：

17
 
27
 
21

思路：

此处视图就不画了，我们要先了解清楚计算的公式

• s[i,j] = s[i - 1,j] + s[i,j - 1] - s[i - 1,j - 1] + a[i,j]
• (x1, y1),(x2, y2) 这一矩阵中所有数的和 = s[x2,y2] - s[x2,y1 - 1] - s[x1 - 1,y2] + s[x1 - 1,y1 - 1]

题解：

1. 继续按照上题一样，角标都从 1 开始，因此数组都要扩容 + 1

Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
int q = scan.nextInt();
int[][] a = new int[n+1][m+1];
int[][] s = new int[n+1][m+1];
for(int i = 1 ; i <= n  ; i ++ ){for(int j = 1 ;j <= m ; j ++ ){a[i][j] = scan.nextInt();}
}

2. 按照思路计算二维数组每一块从 (1,1) 到 (i,j) 的大小，得出 s[i,j] 的通式

for(int i = 1 ; i <= n  ; i ++ ){for(int j = 1 ;j <= m ; j ++ ){s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];}
}

3. 通式计算区域相加减的出的面积

while(q-->0){int x1 = scan.nextInt();int y1 = scan.nextInt();int x2 = scan.nextInt();int y2 = scan.nextInt();System.out.println(s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]);
}

 
附上总的代码

import java.util.Scanner;
public static void main(String[] args){Scanner scan = new Scanner(System.in);int n = scan.nextInt();int m = scan.nextInt();int q = scan.nextInt();int[][] a = new int[n+1][m+1];int[][] s = new int[n+1][m+1];for(int i = 1 ; i <= n  ; i ++ ){for(int j = 1 ;j <= m ; j ++ ){a[i][j] = scan.nextInt();}}for(int i = 1 ; i <= n  ; i ++ ){for(int j = 1 ;j <= m ; j ++ ){s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];}}while(q-->0){int x1 = scan.nextInt();int y1 = scan.nextInt();int x2 = scan.nextInt();int y2 = scan.nextInt();System.out.println(s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]);}
}

 

🌳三. 差分

输入一个长度为 n 的整数序列。
 
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
 
请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式：

第一行包含两个整数 n 和 m。
 
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
 
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式：

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围：

1 ≤ n,m ≤ 100000,
 
1 ≤ l ≤ r ≤ n,
 
−1000 ≤ c ≤ 1000,
 
−1000 ≤ 整数序列中元素的值 ≤ 1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

思路：

• 差分是求前缀和的逆操作，如果想将a数组中 [l,r] 部分的数据全部加上c，只需要将 b[l] + c，然后 b[r+1] - c 即可。
• 差分操作和前缀和一样数组下标都从1开始。b[l] + c 后，l后面的数组都会加 c。r 后面的数据也会被改变，要改回来就得 b[r+1] - c
• 求a[i]的值： 其实就是求b数组的一位前缀和

题解：

1. 先解决范围问题

static int N = 1000010;
static int[] a = new int[N];
static int[] b = new int[N];

2. 数据遍历进数组

Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){a[i] = scan.nextInt();
}

3. 构造一下b数组,因为a是b数组的前缀和

for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){b[i] = a[i] - a[i - 1];
}

4. 将a数组中 [l,r] 部分的数据全部加上c

while(m -- > 0){int l = scan.nextInt();int r = scan.nextInt();int c = scan.nextInt();b[l] += c;b[r + 1] -= c;
}

5. 最后求一遍差分数组的前缀和

for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){b[i] += b[i - 1];System.out.print(b[i] + " ");
}

 
附上总的代码

import java.util.*;public class Test {static int N = 1000010;static int[] a = new int[N];static int[] b = new int[N];public static void main(String[] args){Scanner scan = new Scanner(System.in);int n = scan.nextInt();int m = scan.nextInt();for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){a[i] = scan.nextInt();}for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){b[i] = a[i] - a[i - 1];}while(m -- > 0){int l = scan.nextInt();int r = scan.nextInt();int c = scan.nextInt();b[l] += c;b[r + 1] -= c;}for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){b[i] += b[i - 1];System.out.print(b[i] + " ");}}
}

 

🌴四. 差分矩阵

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
 
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
 
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式：

第一行包含整数 n,m,q。
 
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
 
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式：

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围：

1 ≤ n,m ≤ 1000,
1 ≤ q ≤ 100000,
1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ n,
1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ m,
−1000 ≤ c ≤ 1000,
−1000 ≤ 矩阵内元素的值 ≤ 1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

思路：

• 对差分数组操作： b[x1][y1] += c; b[x1 -1][y2] -= c;b[x2][y1 -1] -= c; b[x2 - 1][y2 - 1] += c;
• 求a的差分数组b：b[i][j] =a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1];

题解：

1. 创建原数组 同时也是b的前缀和数组，a的差分数组

canner sc = new Scanner (System.in);
int n = sc.nextInt() , m = sc.nextInt(), q = sc.nextInt();
int[][] a = new int[1010][1010];//原数组 同时也是b的前缀和数组
int[][] b = new int[1010][1010];//a的差分数组
for(int i = 1;i <= n; i ++) {for(int j = 1; j <= m; j ++) {a[i][j] = sc.nextInt();}
}

2. 求a的差分数组b

for(int i = 1;i <= n; i ++) {for(int j = 1; j <= m; j ++) {b[i][j] =a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1];}
}

3. 对差分数组操作

for(int i = 0; i < q; i ++) {int x1 = sc.nextInt(),y1 = sc.nextInt(),x2 = sc.nextInt(),y2 = sc.nextInt() ,c = sc.nextInt();b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

4. 再对b数组求一遍前缀和数组 并输出

for(int i = 1;i <= n; i ++) {for(int j = 1; j <= m; j ++) {a[i][j] = b[i][j] + a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];System.out.print(a[i][j] + " ");}System.out.println();
}

 
附上总的代码

import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner (System.in);int n = sc.nextInt() , m = sc.nextInt(), q = sc.nextInt();int[][] a = new int[1010][1010];int[][] b = new int[1010][1010];for(int i = 1;i <= n; i ++) {for(int j = 1; j <= m; j ++) {a[i][j] = sc.nextInt();}}for(int i = 1;i <= n; i ++) {for(int j = 1; j <= m; j ++) {b[i][j] =a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1];}}for(int i = 0; i < q; i ++) {int x1 = sc.nextInt(),y1 = sc.nextInt(),x2 = sc.nextInt(),y2 = sc.nextInt() ,c = sc.nextInt();b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;}for(int i = 1;i <= n; i ++) {for(int j = 1; j <= m; j ++) {a[i][j] = b[i][j] + a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];System.out.print(a[i][j] + " ");}System.out.println();}
}
}

 

🎋五. 总结

简单的对于一维、二维以及三维的前缀和和差分的计算公式做一个简单的整理：
这里要知道对于n维的前缀和或者差分有 2^n 项

• 前缀和

一维前缀和： s[i] = s[i-1] + a[i]
 
求[l, r]区间的和：s[r] - s[l-1]
 
二维前缀和：s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j]
 
求[x1, y1] 到 [x2, y2]的和： s[x2][y2] - s[x1-1][y2] + s[x2][y1-1] - s[x1-1][y1-1]

• 差分

一维差分： 将[l, r]上的所有数+c :b[l] += c , b[r+1] -= c
 
求a[i]的值： 其实就是求b数组的一位前缀和
 
二维差分： 将[x1, y1]到[x2, y2]上的数字+c: b[x1][x2]+=c , b[x2+1][y1] -= c , b[x1][y2+1] -=c , b[x2+1][y2+1] +=c
 
求a[i]的值: 其实就是求b数组的二维前缀和