专题：曲面的切平面、法线

$$\begin{gathered} 假设曲面方程为隐函数F(x,y,z)=0，点M(x_0,y_0,z_0)是其上一点 \\ 又在点M处任意引一条在曲面上的曲线，设该曲线参数方程为： \\ \{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array}，且当t=t_0时，x=x_0,y=y_0,z=z_0 \\ 那么F(\phi (t),\psi (t),\omega (t))=0 \\ 对t求全导，得F_x{\phi }^{\prime }(t_0)+F_y{\psi }^{\prime }(t_0)+F_z{\omega }^{\prime }(t_0)=0 \\ 分析： \\ 由于({\phi }^{\prime }(t_0),{\psi }^{\prime }(t_0),{\omega }^{\prime }(t_0))表达的是曲线的切向量， \\ 因此上式表达的是向量(F_x,F_y,F_z)与切向量垂直 \\ 而该曲线是经过点M的任意曲线， \\ 如果一个向量与任意切线都垂直的话， \\ 那这些任意切线必定在一个平面内， \\ \text{这个平面就叫做曲面在点M处的切平面} \\ 而(F_x,F_y,F_z)为\text{曲面在点M处的一个法向量} \\ 因此很容易得到切平面方程为： \\ {F}_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0 \\ 法线方程为： \\ \frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z} \\ 如果曲面由显函数z=f(x,y)给出， \\ 则F(x,y,z)=f(x,y)-z=0，F_x=f_x，F_y=f_y，F_z=-1 \\ 法向量(F_x,F_y,F_z)的模为\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} \\ 假设法向量朝z轴正向，则方向余弦为： \\ \cos \alpha =\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},\cos \beta =\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} \end{gathered}$$