线性代数的学习和整理17：向量空间的基，自然基，基变换等（未完成）

目录

 3 向量空间的基：矩阵的基础/轴

3.1 从颜色RGB说起

3.2  附属知识

3.3 什么样的向量可以做基？

3.4 基的分类

3.1.1 不同空间的基---向量组的数量可能不同

3.1.2 自然基

3.1.3 正交基

3.1.4 标准正交基

3.1.5 基和向量/矩阵

3.1.6 基变换

（1）基不变，坐标变换 

（2）坐标不变，基变换

3.1.6 基变换和坐标变换的公式 （待完成）

---

基的英语

 3 向量空间的基：矩阵的基础/轴

3.1 从颜色RGB说起

• RGB颜色大家都明白原理
• 实际上就是 red, green,blue 这3元色来生成其他颜色
• RGB颜色有2种数字化 表示方式

1. 比如 ffffff 000000 ，这个是16进制数字来表示颜色
2. 使用RGB的向量值来表示其他颜色的，比如 黑色是(0,0,0) ,白色是(255,255,255), 而后面这种方法，就是向量和矩阵的方法
3. 实际上 RGB 是三原色，也就是 颜色空间/ 可以看成一个3维空间的基
4. 其中 red 是 green 是   ，blue是 
5. 任意一种颜色都可以写成 

3.2  附属知识

1 十六进制

（常用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9和字母A、B、C、D、E、F（a、b、c、d、e、f）表示，其中:A~F表示10~15，这些称作十六进制数字。）

2 颜色的RGB值

• RGB值从0-255，实际这个数字代表亮度
• 总共有256*256*256种，

颜色名称	红色值 Red		绿色值 Green	蓝色值 Blue
黑色	0		0		0
蓝色	0		0		255
绿色	0		255		0
青色	0		255		255
红色	255		0		0
亮紫色（洋红色）	255		0		255
黄色	255		255		0
白色	255		255		255

3.3 什么样的向量可以做基？

向量空间的基的严格定义：向量空间中的某组向量 A= {a1,a2.....an} ，这些向量如果是这个向量空间的最大线性无关组，那么这组向量A就是这个空间的一组基。

总结可以做基的特征

A= {a1,a2.....an} 这组向量，或这个向量组

• 必须是线性无关的。
• 而且必须是这个空间的最大线性无关组。

理论上，颜色空间的基有无数组，但是很多向量组也不能作为基本

举例

1. 比如RG这2种颜色构成的向量组，不能称为RGB空间的一组基，因为RG组成不了所有颜色
2. 比如线性相关的3组向量: 深绿色(0,255,0)，标准绿色(0,100,0) 和蓝色(0,0,255)不能作为颜色空间的基的，因为3个线性相关的颜色基，无法组成所有颜色。

3.4 基的分类

3.1.1 不同空间的基---向量组的数量可能不同

• （a1,a2）是2维的，对应2个基底e1,e2
• （a1,a2,a3）是3维的，对应3个基底e1,e2
• （a1,a2,a3... ... an）是n维的, 对应n个基底e1,e2.....en

3.1.2 自然基

• 自然基本特指这种    
• 自然基，比然是正交基，也是标准正交基

3.1.3 正交基

• 基这组向量里的每个向量都是互相 垂直/正交的

3.1.4 标准正交基

• 基这组向量里的每个向量都是互相 垂直/正交的
• 且长度都为1
• 标准正交基有很多，并不只是只有自然基那一组！

3.1.5 基和向量/矩阵

• 比如一个向量(3,2,5) 就可以认为是，这个向量的3个元素分别在3个基上的长度/伸缩度

1. 向量(3,2,5) 在第1个基，(1,0,0) 上的长度/伸缩度是3，
2. 向量(3,2,5) 在第2个基，(0,1,0) 上的长度/伸缩度是2，
3. 向量(3,2,5) 在第3个基，(0,0,1) 上的长度/伸缩度是5，

3.1.6 基变换

• 矩阵的 基 / 基底 是可以改变的
• 实际上Ax=y 就可以看作 基变换
• Ax=y 有两种方法，要么坐标变，要么坐标不变，基变化

（1）基不变，坐标变换 

• 假设我们有A是e1,e2,e3 等 自然基下的向量x
• 计算  A*x=y
• 一般我们计算  A*x=y 其实都是将 向量x 经过矩阵A变换后，生成了新的向量y，而新的向量y实际就是原向量的坐标发生了变化，其仍然是e1,e2。。。等 自然基下的向量y

（2）坐标不变，基变换

• 假设我们有A是e1,e2。。。等自然基下的向量x
• 而A的列向量分别是  α1,α2 ....
• 计算  A*x=y
• 我们可以保持x向量的坐标还是老的，但是基不再用e1,e2。。。等，而是用A的列向量α1,α2 ....作为新的基.

3.1.6 基变换和坐标变换的公式 （待完成）