【考研数学】线性代数第四章 —— 线性方程组（2，线性方程组的通解 | 理论延伸）

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引言

承接前文，继续学习线性方程组的内容，从方程组的通解开始。

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四、线性方程组的通解

4.1 齐次线性方程组

（1）基础解系 —— 设 $r(A)=r<n$ ，则 $AX=0$ 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 $AX=0$ 的一个基础解系。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个数为 $(n-r)$ 个。

因为是 $r(A)=n$ 呢？因为如果 $r(A)=n$ 的话，那齐次方程就只有零解了，也没什么好讨论的。

求齐次线性方程组的基础解系时，把其系数矩阵通过初等行变换进行阶梯化（系数矩阵进行初等行变换相当于方程组的同解变形），每行第一个非零元素所在的列对应的未知数是约束变量，其余变量是自由变量，从而可以确定基础解系（最好把每行第一个非零元素化为 1 ，且其所在的列其余元素都化为零）。

举个例子，假设方程组 $AX=0$ 的系数矩阵 $A$ 经过初等行变换可以化为如下形式：

则 $r(A)=3<5$ ，方程组 $AX=0$ 的基础解系中含有 $n-r=5-3=2$ 个解向量，其中 $x_1,x_2,x_3$ 为约束变量，$x_4,x_5$ 为自由变量，$(x_4,x_5)$ 分别取 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ ，则基础解系为： $${\xi }_1=(-2,1,-3,1,0{)}^T,{\xi }_2=(3,-4,2,0,1{)}^T.$$ （2）通解 —— 设 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，称 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的通解，其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n-r}$ 为任意常数。

4.2 非齐次线性方程组

设 $r(A)=r(\overline{A})<n$ ，且 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-r}$ 为 $AX=b$ 的导出方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，${\eta }_0$ 为 $AX=b$ 的一个解，则 $AX=b$ 的通解为 $$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+{\eta }_0,$$ 其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n-r}$ 为任意常数。

1，齐次线性方程组 $AX=0$ 的基础解系不唯一，但线性无关的解向量的个数是唯一的。
2，$r(A)=r(\overline{A})<n$ 时，非齐次线性方程组 $AX=b$ 所有解向量的极大线性无关的向量个数为 $(n-r+1)$ 个。
3，设 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{n-r+1}$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一个极大线性无关组，则其通解也可以像齐次方程那样表示为 $k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_{n-r+1}{\eta }_{n-r+1}$ ，其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n-r+1}$ 为任意常数，且 $k_1+k_2+\cdots +k_{n-r+1}=1.$

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五、方程组解的理论延伸

定理 1 —— 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵，若 $AB=O$ ，则 $B$ 的列向量组是方程组 $AX=0$ 的解。
证明： 令 $B=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s)$，则 $AB=(A{\beta }_1,A{\beta }_2,\dots ,A{\beta }_s)$，若 $AB=O$ ，则 $A{\beta }_1=0,A{\beta }_2=0\dots ,A{\beta }_s=0$ ，原命题得证。

定理 2 —— 设方程组 $AX=0$ 与 $BX=0$ 为同解方程组，则 $r(A)=r(B)$ ，反之不对。

定理 3 —— 设方程组 $AX=0$ 的解为 $BX=0$ 的解，则 $r(A)\ge r(B).$

1，设方程组 $AX=0$ 的解为 $BX=0$ 的解，但不全是，则 $r(A)>r(B).$
2，设方程组 $AX=0$ 的解为 $BX=0$ 的解，且 $r(A)=r(B)$ ，则两个方程组同解。

定理 4 —— 设 $AX=b,BX=c$ ，则线性方程组 $(A,B{)}^{T}X=(b,c{)}^T$ 的解即为两个方程的公共解。