2023牛客暑期多校训练营7 CI「位运算」「根号分治+容斥」

C-Beautiful Sequence_2023牛客暑期多校训练营7 (nowcoder.com)

题意：

给定一个b序列，a序列满足$a[i-1]<=a[i]$且$a[i]\oplus a[i+1]=b[i]$，求字典序第k大的满足条件的a序列，若不存在则输出-1。

思路：

我们对b数组求一个前缀和可以发现：

$pre[1]=0\oplus b[1]=a[1]\oplus a[2]$

$pre[2]=pre[1]\oplus b[2]=a[1]\oplus a[2]\oplus a[2]\oplus a[3]=a[1]\oplus a[3]$

……

依次类推，可以发现$pre[i]=a[1]\oplus a[i+1]$，对于每一组$pre[i]$和$pre[i+1]$，考虑二进制从最高位开始查询，当某一位不同的时候一定是因为$a[i+1]$的这位为1而$a[i]$的这位为0，于是我们可以确定$a[1]$的某一位，遍历完成后会发现可能有一部分位置（sum）的值并未确定，所以所有可能的a序列就有$1<<sum$个，而字典序第k大的就是$a[1]$的取值为第k大的，确定$a[1]$后即可通过b数组求得答案。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define io ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
typedef long long ll;
#define int ll
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define m_p make_pair
const int mod = 998244353;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e6 + 50;
//__builtin_ctzll(x);后导0的个数
//__builtin_popcount计算二进制中1的个数
ll a[N],b[N],pre[N];
int numa[33];void work() {int n,k;cin>>n>>k;pre[0]=0;a[1]=0;for(int i=1;i<n;++i){cin>>b[i];pre[i]=pre[i-1]^b[i];}for(int i=0;i<=30;++i)numa[i]=-1;for(int i=n-1;i>=1;--i){for(int j=30;j>=0;--j){if(((pre[i]>>j)&1)!=((pre[i-1]>>j)&1)){numa[j]=((pre[i-1]>>j)&1);break;}}}ll num=0;for(int i=0;i<30;++i){if(numa[i]==-1)num++;}if((1<<num)<k){cout<<"-1\n";return;}k--;for(int i=30;i>=0;--i){if(numa[i]==-1){if((k>>num)&1) numa[i]=1;else numa[i]=0;num--;}}ll x=1;for(int i=0;i<=30;++i){if(numa[i]==1)a[1]+=x;x*=2;}for(int i=2;i<=n;++i){a[i]=a[i-1]^b[i-1];if(a[i]<a[i-1]){cout<<"-1\n";return;}}for(int i=1;i<=n;++i){cout<<a[i]<<" \n"[i==n];}
}signed main() {io;int t=1;cin >> t;while (t--) {work();}return 0;
}

I-We Love Strings_2023牛客暑期多校训练营7 (nowcoder.com)

题意：

给定n个01?字串，其中?可以是0也可以是1，询问有多少个01字串符合至少一个给定的正则串。

思路：

根号分治。

在字串长小于20（$sqrt(400)$）时dfs暴力找，总复杂度不会超过$2^{21}$。

大于20时，容斥：奇加偶减。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define io ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
typedef long long ll;
#define int ll
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define m_p make_pair
const int mod = 998244353;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll N = 405;
//__builtin_ctzll(x);后导0的个数
//__builtin_popcount计算二进制中1的个数
ll ans=0;
vector<string>a[N];
string tmp;
int n;void small(int now,int len){if (now==len+1){for(auto x:a[len]){bool ok=1;for(int j=0;j<len;j++) {if(x[j]=='?') continue;if(x[j]!=tmp[j]){ok=0;break;}}if (ok) {ans++;break;}}return ;}tmp+='0';small(now+1,len);tmp.pop_back();tmp+='1';small(now+1,len);tmp.pop_back();
}void big(int len,int size){ll m=1<<size;//正则串随意组合的情况数for(int i=1;i<m;++i){//枚举所有可能int cnt=0,ok=1;tmp.clear();for(int j=0;j<len;++j)tmp+="?";for(int j=0;j<size;++j){//枚举每种正则串的组合方式if(i>>j&1){cnt++;for(int t=0;t<len;++t){//枚举每一位char x=a[len][j][t];if(tmp[t]=='?'){tmp[t]=x;}else if(x!='?'&&tmp[t]!=x){ok=0;break;}}if(!ok)break;}}if(!ok)continue;int p=1;for(int j=0;j<len;++j){if(tmp[j]=='?')p=p*2%mod;//计算有多少个未确定的字符，每个未确定代表两种可能}if(cnt&1){ans=(ans+p)%mod;}else ans=(ans-p)%mod;}
}void work() {cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i){string s;cin>>s;a[s.size()].pb(s);}for(int i=1;i<N;++i){if(!a[i].size()){continue;}if(i<=20){tmp.clear();small(1,i);}else{big(i,a[i].size());}}ans%=mod;cout<<ans<<'\n';
}signed main() {io;int t=1;//cin >> t;while (t--) {work();}return 0;
}