计算机图形学线性代数相关概念

Transformation（2D-Model）

Scale(缩放)

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(等比例缩放)}$$

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(x,y不同比例缩放)}$$

Reflection(反转)

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(沿y轴对称反转)}$$

沿x轴或原点对称同理

Shear(切变)

如下图，切变的跨度(a)和y是成正比例的。坐标归一化后，也就是x每次加一个y倍的a

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(坐标归一化后的操作)}$$

Rotate(旋转)

$$R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$

Homogenous coordinates(齐次坐标)

为什么引入齐次坐标？
区分向量和点，更易于表示仿射变换

仿射变换就是线性的几何变换加上一个平移，包括旋转、缩放、平移、切变。

齐次坐标的意义就是让平移变换和其它线性变换一样，都能表述成一个矩阵相乘的形式！

具体做法：

Add a third coordinate (w-coordinate)

• 2D point = $(x,y,1{)}^T$
• 2D vector = $(x,y,0{)}^T$

向量具有平移不变性，只表示方向和大小！

运算过程中 w 分量的值：

• vector + vector = vector 向量+向量结果依旧为向量，w此时仍为0
• point - point = vector 点-点结果为向量，w此时为0
• point + vector = point 点+向量结果为点，w此时为1
• point + point = ?? 点+点 无意义？ ，w此时为2
  • 扩充意义：点 + 点 = 两个点的中点

$$w!=0,\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ w/w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ 1\end{array}\right]$$

Translation(平移)

translation is NOT linear transform!

平移不是线性变换，线性变换的对象是向量，向量是不存在空间位置的！平移是对点进行操作。

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ w\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(向量的w为0，点的w为1)}$$

引入齐次坐标后的变换矩阵

Scale

$$S(s_x,s_y)=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Rotation

$$R_{\theta }=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Translation

$$T(t_x,t_y)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Other

逆变换

执行一个操作，再执行这个操作的逆操作，相当于不变。

变换顺序

根据矩阵的分配率性质，多个操作可以合并成一个矩阵。

变换组合到一个矩阵时，先进行线性变换，再进行平移。

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

变换的分解

Q：如何围绕给定点进行旋转(非原点)？

A：1.平移到原点 2.旋转 3.反向平移复位

Transformation（3D-Model）

Use homogeneous coordinates again：

• 3D point = $(x,y,z,1{)}^T$
• 3D vector = $(x,y,z,0{)}^T$

w 分量不为0时的扩充意义：
$$w!=0,\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ z/w\\ w/w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ z/w\\ 1\end{array}\right]$$

Use 4x4 matrices for affine(仿射) transformations

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

先进行线性变换，再进行平移。

Rotation around x,y or z-axis沿着标准轴旋转

$$\begin{gathered} R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ 0& sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ ------------------------- \\ {R}_y(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}cos\alpha & 0& sin\alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\alpha & 0& cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ ------------------------- \\ {R}_z(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0& 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

Compose any 3D rotation from Rx,Ry, Rz沿着任意轴旋转

如图，α β γ分别对应roll pitch yaw（欧拉角）。

• Roll:翻滚，我们以圣地安列斯里最恶心的开飞机为例，Roll将你的飞机机头朝向不变，进行机身的转动，机翼从水平到竖直这种。
• Pitch:是将你的飞机机头向上抬或者向下降，范围在-90 ~ 90 .
• Yaw:是水平方向上转动机头的朝向，范围在0~360。

图形学中有一个办法，可以把任意的一个旋转分解再X，Y，Z三轴上，分别做旋转从而得到了一个公式，也就是罗德里德斯旋转公式：

罗德里德斯旋转公式给了我们一个旋转矩阵，它定义了一个旋转轴 n 和一个旋转角度 α。

我们默认旋转轴 n 是过原点的，也就是起点在原点上，方向是n这个方向，旋转角度为α。

如果想要沿着任意轴旋转，但该轴起点不是原点，则需要先将所有的物体都进行平移是的旋转轴的起点为原点，然后进行旋转，最后再平移回去。

矩阵N是两个向量叉乘写成矩阵形式。

Transformation（View/Camera）

前置概念Ⅰ：旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵
$$\begin{gathered} R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right] \\ ------------- \\ {R}_{-\theta }=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right] \\ ★R_{-\theta }=R_{\theta }^{-1}=R_{\theta }^T \end{gathered}$$
如上公式，从矩阵中我们可以发现 $R_{-\theta }=R_{\theta }^T$

而在图形学中我们知道 $R_{\theta }$ 和 $R_{-\theta }$ 是一个互逆的操作

因此 $R_{-\theta }=R_{\theta }^{-1}=R_{\theta }^T$

因此我们可以得出 旋转矩阵的逆等于它的转置矩阵 这一定义，之后的内容我们会用到这个性质。

在数学上，一个矩阵的逆等于它的转置矩阵我们称其为正交矩阵。

前置概念Ⅱ：变换过程

我们知道我们需要将三维空间中摄像机看到的场景最终变为一张2D的图片给显示在screen上，我们来了解具体发生了什么变换。具体是去了解如何从3D 变为 2D。

其中的过程类似于拍照片：

1. Model Transformation: 让人们集合在一起并摆好姿势（设置好场景）
2. View Transformation : 找到一个拍摄的角度（设置好camera位置和看的方向）
3. Projection Transformation: 拍照（将camera看向的3D内容变为2D照片）

我们主要对第二步进行讲解。

首先需要定义好Camera：

• 设置好相机的位置 Position
• 设置好相机看向的方向，即 look-at / gaze direction
• 我们除了相机指向的方向我们还要设置一个 up-direction，因为我们需要从不同角度看向场景，就像你拿着手机倾斜45度或者反着拍，最后的照片是不一样的。

至此我们通过一个点(向量)，两个(单位)向量将相机给固定下来了

我们知道，当相机和物体进行相对运动时，不论怎么移动二者，我们看到的结果是一样的。

因此我们将相机从原本位置移动到原点位置，使得其Look-at direction看向 -z 方向，up-direction 是 y 正半轴。相机移动后，物体/场景跟着相机进行相同的移动，这样虽然进行了移动，但最终看到的结果是相同的。

这样做是因为可以简化很多操作，相机在(0,0,0)位置有很多的好处。

假设我们现在有一个相机，在 e 点上，gaze direction 是向量 g，up direction 是 t，我们要把点 e 给变成原点，向量 g 在 -z 轴上，t 在 y 正半轴上。

其基本思想是：

• 进行平移，将e点移到原点。

• 旋转g到-z方向上。

• 旋转t到+y方向上。

• 旋转 g 叉乘 t 得到的向量 到+x方向上。

由于我们说过一般是先进行线性变换再进行平移的，但在这里是先平移再线性变换，所以我们将T写在最右边。

平移矩阵很好写，难的是如何将g,t,g×t旋转到x,y,-z上。这时可以反过来想，我们知道g,t,g×t是如何用(x,y,z)表示的，我们只需要求出x,y,-z旋转到g,t,g×t的旋转矩阵，再加上旋转矩阵的逆矩阵 是这个旋转矩阵的转置矩阵这条性质，就可以巧妙的求出g,t,g×t给旋转到x,y,-z上的旋转矩阵。

View Transform主要做两步：

• 移动camera，使其位于world space的坐标原点，同样的将其余场景也进行相同的变换使其到应到的位置。
• 旋转camera，使得摄像机坐标系与世界坐标系重合。

Transformation（Projection）

Orthographic projection (正交投影） ：多用于工程制图

Perspective projection（透视投影）：符合人眼的成像，会产生近大远小的效果，看起来平行线不会平行，延长的话会相交。

正交投影和透视投影本质的区别就是：是否有近大远小的效果

Orthographic projection

正交投影的思想：

Ⅰ. 我们设置camera于原点，看向-Z方向，向上是Y轴

Ⅱ. 然后我们舍弃Z轴也就是让所有物体都Z都等于0，从而我们实现了所有物体只在X轴和Y轴上

Ⅲ. 将其挤压到$[-1,1]\ast [-1,1]$这么一个正方形内.

图形学中的实际操作：

我们定义一个立方体，left,right bottom,top far,near（但是注意我们是看向-Z方向的，far的Z轴值小，near的值大）

然后将其的中心平移到原点出，最后将其给拉成一个$[-1,1{]}^3$的正则立方体。

具体的操作矩阵：

$$M_{ortho}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{r+l}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{n+f}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

具体来说第一个右侧矩阵是反向平移操作，将立方体的中心点平移到原点，类似二分找中点。第二个左侧矩阵是缩放到$[-1,1{]}^3$内，因为边长是2，所以分子设置为2，相当于等比例交叉相乘。

Perspective projection

透视投影的思想：

Ⅰ. 将frustum给挤压成一个长方体，也就是将远平面压的和近平面一个大小。

Ⅱ. 做一次正交投影，将长方体的中心移到原点并将其压缩成$[-1,1{]}^3$的正方体。

注意：

Ⅰ. 在挤压的过程中，近平面永远不会发生变化。

Ⅱ. 在挤压过程中，远平面上的Z值不会发生变化。

Ⅲ. 挤压过程中，远平面的中心点也不会发生变化。

关于Z值会发生改变的情况，可以想象一个场景。在你的面前是一条笔直的上山铁轨，随着距离越远，枕木之间的压缩距离应该越近。

我们知道如何做正交投影，那么接下来来讨论挤压这个frustum的矩阵如何求？

首先上图鼠标所在的右侧虚线并不是特指远平面，而是近平面到远平面之间的任意面(包含远平面)。

那么此时图中出现一组相似三角形，根据边的比例关系和已知的近平面Z值以及待挤压点的信息，可以得到挤压后点的$x^{\prime },y^{\prime }$

在齐次坐标中的表示形式：

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}nx/z\\ ny/z\\ unknown\\ 1\end{array}\right]==\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ stillunknown\\ z\end{array}\right]$$

挤压矩阵：
$$M_{persp\to ortho}\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ unknown\\ z\end{array}\right]$$

$$M_{persp\to ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

从而我们求出了除第三行以外的内容，接下来我们求第三行，但我们需要记住两点：

• 近平面上的任意一点都不会因变换而改变。

x、y依旧是变量，而替换之后的n为常量代表的是近平面的距离。总的来说就是用上述性质得到了一组unknown为$n^2$的特例。

• 远平面上的任意一点的Z值都不会因变化而改变，并且中心点的X，Y也不会发生改变。

同样的，由于远平面任意一点的Z值不发生改变，取远平面的中心点（其被挤压后X和Y仍为0，且Z值不变），其坐标为（0,0,f,1）

最终推导出A，B的值，从而得到挤压矩阵$M_{persp\to ortho}$。

$$M_{persp\to ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
投影透视结论：$M_{persp}=M_{ortho}{M}_{persp\to ortho}$